Ανισότητα του Kantorovich

Έστω $a_1, a_2, \dots, a_n$ δοσμένοι θετικοί αριθμοί με \[ m = \min\{a_1, a_2, \dots, a_n\}, \quad M = \max\{a_1, a_2, \dots, a_n\}. \] Ορίζουμε τον αριθμητικό και τον γεωμετρικό μέσο των $m$ και $M$ ως:

 $A = \dfrac{m + M}{2}, \qquad G = \sqrt{mM}$. 

Τότε ισχύει η $\textbf{ανισότητα του Kantorovich}$: \begin{equation} \frac{\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2}{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} \leq \frac{(m + M)^2}{4 m M} = \frac{A^2}{G^2}. \end{equation} Η ανισότητα αυτή είναι κεντρικής σημασίας για τη μελέτη των ιδιοτήτων σύγκλισης των μεθόδων καθόδου στη βελτιστοποίηση $(\textit{Luenberger}, 1984)$.