Πιστεύεις; Αν Όχι, Χάνεις για Πάντα — Η Μαθηματική Υπόσχεση του Pascal

Το στοίχημα του Pascal βασίζεται στη θεωρία αποφάσεων και στη μαθηματική έννοια της $\textbf{αναμενόμενης αξίας}$ (expected value).

Έστω: 

• \( p \) η πιθανότητα να υπάρχει Θεός, όπου \( 0 \leq p \leq 1 \). 
• Αν πιστεύουμε και ο Θεός υπάρχει, κερδίζουμε «άπειρη» θετική αξία, δηλαδή αιώνια ζωή: \( +\infty \). 
• Αν δεν πιστεύουμε και ο Θεός υπάρχει, έχουμε «άπειρη» ζημία: \( -\infty \). 
• Αν ο Θεός δεν υπάρχει, τα κέρδη ή οι ζημίες είναι πεπερασμένα και μικρά. 

Υπολογίζουμε την αναμενόμενη αξία για τις δύο επιλογές: 

\[ \text{Αναμενόμενη αξία αν πιστέψω} = \] \[=p \times (+\infty) + (1-p) \times (\text{μικρό κόστος}) = +\infty \] \[ \text{Αναμενόμενη αξία αν δεν πιστέψω} = \]

\[=p \times (-\infty) + (1-p) \times 0 = -\infty \] Ακόμη και για πολύ μικρό \( p \), η άπειρη αξία υπερτερεί έναντι οποιασδήποτε πεπερασμένης πιθανότητας και μικρού κόστους. 

$\textbf{Συμπέρασμα:}$ Το λογικό είναι να επιλέξουμε να πιστέψουμε, αφού αυτό μας προσφέρει θετικά απεριόριστη αναμενόμενη αξία.