Οι άρρητοι αριθμοί είναι κάπως δύσχρηστοι. Παρ’ όλα αυτά, είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι και εμφανίζονται τόσο στα καθαρά όσο και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά — ακόμη και σε μέρη που ίσως δεν θα περιμένατε.
Ένας άρρητος αριθμός είναι κάθε πραγματικός αριθμός που δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως κλάσμα. Σκεφτείτε τους αριθμούς $π, e$ και $\sqrt{2}$.
Όταν γραφτούν σε δεκαδική μορφή, εμφανίζουν άπειρα ψηφία χωρίς κανένα φανερό επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Αν στρογγυλοποιήσουμε ή περικόψουμε αυτούς τους αριθμούς, χάνουμε ακρίβεια και εισάγουμε κάποιο σφάλμα στους υπολογισμούς μας. Αυτό δεν αποτελεί απαραίτητα πρόβλημα στις περισσότερες περιπτώσεις, εφόσον η προσέγγισή μας είναι αρκετά κοντά στην πραγματική τιμή.
Ας πάρουμε για παράδειγμα το π:
π = 3.141592653589793238462643383279…
Έχουμε την κοινή προσέγγιση 3.14, τη λίγο πιο ακριβή 3.1415 — αν νιώθετε "κομψοί" — ή ακόμα και 3.141592653589793, που χρησιμοποιείται από τη NASA.
Όμως καμία από αυτές δεν είναι η αληθινή τιμή του π…
Κάποιες φορές βλέπουμε το κλάσμα 22/7 να χρησιμοποιείται ως προσέγγιση του π. Πρόκειται για μια εντυπωσιακά καλή προσέγγιση:
22/7 = 3.14285…
π – 22/7 = −0.00126…
Ακόμη καλύτερα, έχουμε:
355/113 = 3.1415929…
οπότε π – 355/113 = −0.0000002667 — πολύ κοντά!
Αυτό το πρόβλημα δεν περιορίζεται μόνο στους άρρητους αριθμούς. Αν έχουμε ένα μεγάλο ρητό αριθμό και θέλουμε να τον γράψουμε πιο συνοπτικά χωρίς να χάσουμε ακρίβεια, μπορούμε να τον προσεγγίσουμε επίσης με ένα κλάσμα.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου