Ποιος αριθμός επαναλαμβάνεται επ’ αόριστον; Ένα αριθμητικό πρόβλημα με διαίρεση και επαναλήψεις

Ένα πρόγραμμα υπολογιστή δημιουργεί μια ακολουθία αριθμών με τον εξής κανόνα:

• Ο πρώτος αριθμός δίνεται από τον χρήστη.

  

• Έστω ότι ο τελευταίος αριθμός της ακολουθίας είναι ο $n$. Τότε:

  • Υπολογίζεται η ακέραια διαίρεση του $n$ με το 18, δηλαδή:

    $$n=18q+r$$

    όπου $q$ είναι το πηλίκο και $r$ το υπόλοιπο.

  • Ο επόμενος αριθμός που δημιουργείται είναι:

    $$q+r$$

Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται συνεχώς, χρησιμοποιώντας πάντα τον τελευταίο αριθμό που δημιουργήθηκε.

Παράδειγμα:
Αν ξεκινήσουμε με τον αριθμό $5291$, έχουμε:

• $5291 = 293 × 18 + 17$, άρα ο επόμενος αριθμός είναι $293 + 17 = 310$
  

• $310 = 17 × 18 + 4$, επόμενος αριθμός: $17 + 4 = 21$
  

• και ούτω καθεξής...

Όποιος κι αν είναι ο αρχικός αριθμός, η διαδικασία τελικά καταλήγει να παράγει τον ίδιο αριθμό ξανά και ξανά.

❓ Ερώτηση:

Ποιος είναι αυτός ο αριθμός, αν ο αρχικός αριθμός είναι:

$$2^{110}$$