Ανισότητα με Αθροίσματα Αντίστροφων Ακεραίων

Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς ακεραίους $a_1, a_2, \ldots, a_n$, ισχύει: 

$a_1 + \dfrac{1}{a_1} + \left( \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} \right) + \left( \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_3} \right) + \cdots $

$\cdots+ \left( \dfrac{1}{a_1} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} \right) < 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)$