Τρεις ομόκεντρους κύκλους και η Χρυσή Τομή (Φ)

Ακολουθεί μια ενδιαφέρουσα γεωμετρική κατασκευή που περιλαμβάνει τρεις ομόκεντρους κύκλους των οποίων οι ακτίνες βρίσκονται σε λόγο 1 : 2 : 4.

Σχεδιάζουμε μια ευθεία εφαπτομένη στον μικρότερο κύκλο, η οποία διέρχεται διαδοχικά από τους δύο άλλους, τέμνοντάς τους στα σημεία Α και Β. Επεκτείνοντας αυτή τη γραμμή, θεωρούμε ένα σημείο G πάνω της.

Προκύπτει ότι ο λόγος του μήκους ΑG προς το ΑΒ είναι ίσος με τον χρυσό αριθμό Φ (Phi), δηλαδή:

$$\frac{ΑΓ}{ΑΒ} = \varphi = 1{,}6180339887\ldots$$

Απόδειξη:

• Το μήκος του τμήματος ΑΒ είναι:

  $$\mathrm{A}\mathrm{B}=2\cdot \sqrt{3}$$

• Το μήκος του τμήματος ΑG είναι:

  $$\mathrm{AG}=\sqrt{15}+\sqrt{\mathrm{3}}$$

οπότε:

$$\frac{ΑΓ}{ΑΒ} = \frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} = \varphi$$

Σχόλιο:

Αυτή η όμορφη κατασκευή αναπτύχθηκε από τον Sam Kutler και υποβλήθηκε από τον Steve Lautizar.