Ο Λογάριθμος της Χρυσής Τομής: Ένα Όμορφο Ολοκλήρωμα

Απόδειξη:

Το ολοκλήρωμα

$$\int_0^{1/2} \frac{dx}{x^2 + 1}$$

είναι κλασικό και υπολογίζεται ως εξής:

$$\int_0^{1/2} \frac{dx}{x^2 + 1} = \left[ \tan^{-1} x \right]_0^{1/2} = \tan^{-1}(1/2) - \tan^{-1}(0) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$$

Άρα:

$$\ln \varphi = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$$

Και πράγματι:

$$\varphi = e^{\tan^{-1}(1/2)} \approx e^{0.4636} \approx 1.618$$

που συμφωνεί με τη γνωστή τιμή της $\varphi$.