🔍 Ανακαλύψτε τη Χρυσή Έλλειψη

Γνωρίζατε ότι υπάρχει μια «χρυσή έλλειψη», της οποίας οι άξονες σχετίζονται με τη χρυσή τομή;

Μια χρυσή έλλειψη είναι εκείνη όπου η αναλογία του μεγάλου ημιάξονα a προς τον μικρότερο ημιάξονα b ισούται με τον αριθμό

$$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618.$$

🟡 Σχεδιάστε την

Για να τη δείτε να «ζωντανεύει», σχεδιάστε:

• Την ίδια την έλλειψη με λόγο $a=\phi b$

• Τον εγγεγραμμένο κύκλο (ο μεγαλύτερος κύκλος που χωράει μέσα στην έλλειψη)

• Τον περιγεγραμμένο κύκλο (ο μικρότερος κύκλος που περικλείει την έλλειψη)

✨ Ένα εκπληκτικό γεγονός

Το εμβαδόν της έλλειψης είναι ίσο με το εμβαδόν του δακτυλίου που σχηματίζεται ανάμεσα στους δύο κύκλους!

Ας το δούμε μαθηματικά:

• Το εμβαδόν της έλλειψης είναι:

  $$A_{\text{ellipse}}=\pi ab=\pi \phi b^2$$

• Το εμβαδόν του δακτυλίου (περιγεγραμμένος κύκλος με ακτίνα $a$, μείον ο εγγεγραμμένος κύκλος με ακτίνα $b$) είναι:

  $$A_{\text{ring}}=\pi (a^2-b^2)=\pi b^2({\phi }^2-1)$$

Αλλά αφού ${\phi }^2-1=\mathrm{\phi ,\; \tau ό\tau \epsilon :}$

$$A_{\text{ring}}=\pi b^2\phi =A_{\text{ellipse}}$$

🎯 Άρα, η επιφάνεια της χρυσής έλλειψης ταιριάζει ακριβώς με το "δαχτυλίδι" των δύο κύκλων!