Οι “σχεδόν ακέραιοι” αριθμοί του Ραμανουτζάν:

Ο Σριναβάσα Ραμανουτζάν παρατήρησε ότι για ορισμένες τιμές του \( n \), οι εκθετικές εκφράσεις της μορφής \( e^{\pi \sqrt{n}} \) προσεγγίζουν καταπληκτικά καλά ακέραιες ποσότητες.

Ειδικότερα, για \( n = 43, 67, 163 \), ισχύουν οι εντυπωσιακά ακριβείς προσεγγίσεις: \begin{align*} e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 960^3 + 744, \\ e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 5280^3 + 744, \\ e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 640320^3 + 744. \end{align*} Η τελευταία σχέση είναι ακριβής μέχρι το 12ο δεκαδικό ψηφίο: \[ e^{\pi \sqrt{163}} \approx 262537412640768743.99999999999925 \] ο αριθμός αυτός είναι γνωστός ως "σταθερά Ραμανουτζάν". 

🔍 Η βαθύτερη μαθηματική αλήθεια

Οι αριθμοί $n = 43, 67, 163$ δεν είναι τυχαίοι. Είναι οι τρεις μεγαλύτερες θετικές διακρίσεις $D$ για τις οποίες η κλάση των διακριτών τετραγωνικών μορφών έχει πληθικότητα 1. Δηλαδή, υπάρχουν πολύ λίγες μορφές της μορφής:

$$a{x}^2+bxy+c{y}^2$$

με διακρίνουσα $D = b^2 - 4ac$, που είναι ισοδύναμες.

Συνδέονται επίσης με:

• Την Ελλειπτική Μορφή $j(\tau)$, όπου η παράσταση

  $$j\left(\frac{1+\sqrt{-n}}{2}\right)$$

  δίνει (σχεδόν) ακέραιες τιμές

• Την Modular Function Theory

• Την εξίσωση του Αριθμού Μόντγιουλ

• Την εξίσωση Πέλλ και τη θεωρία κλάσεων ιδεωδών