EisatoponAI: Τι είναι το Διπλό Παραγοντικό;

Στα μαθηματικά, το διπλό παραγοντικό ενός φυσικού αριθμού n, που συμβολίζεται ως n!!, είναι:

Το γινόμενο όλων των άρτιων θετικών ακεραίων μέχρι το $n$ , αν ο $n$ είναι άρτιος.
Το γινόμενο όλων των περιττών θετικών ακεραίων μέχρι το $n$ , αν ο $n$ είναι περιττός.

Πιο επίσημα:

$n!! = \prod_{k=0}^{\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil - 1} (n - 2k) = n \cdot (n - 2) \cdot (n - 4) \cdots$

Αναλυτικά:

Για άρτιο αριθμό $n$ , ισχύει:

$n!! = \prod_{k=1}^{n/2} (2k) = n \cdot (n - 2) \cdot (n - 4) \cdots 4 \cdot 2$

Για περιττό αριθμό $n$ , ισχύει:

$n!! = \prod_{k=1}^{(n+1)/2} (2k - 1) = n \cdot (n - 2) \cdot (n - 4) \cdots 3 \cdot 1$

Παραδείγματα:

$8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384$
$9!! = 9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 = 945$

Το διπλό παραγοντικό εμφανίζεται συχνά σε συνδυαστικούς τύπους, αναδρομικούς ορισμούς, και υπολογισμούς που αφορούν σφαίρες ή παραγώγους σε ειδικές περιπτώσεις.