Φανταστείτε ότι ξεκινάτε από την αρχή των αξόνων στο επίπεδο (0,0) και ξεκινάτε μια τυχαία βόλτα, όπου κάθε βήμα κινείται είτε δεξιά (κατά μήκος του άξονα x) είτε πάνω (κατά μήκος του άξονα y) — πάντα προς τις θετικές κατευθύνσεις.
Η επιλογή κατεύθυνσης γίνεται με τη ρίψη ενός δίκαιου νομίσματος: κορώνα σημαίνει "δεξιά", γράμματα σημαίνει "πάνω".
Όμως υπάρχει μια ιδιαιτερότητα: το μήκος κάθε βήματος είναι συνεχώς μικρότερο και συγκεκριμένα ισούται με:
Μήκος του n-οστού βήματος = $\dfrac{\sqrt{2}}{2^{n-1}}$.
Δηλαδή:
- Το πρώτο βήμα έχει μήκος $\sqrt{2}$,
- Το δεύτερο $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,
- Το τρίτο $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$,
και ούτω καθεξής.
Μετά από άπειρα τέτοια βήματα, ποια είναι η αναμενόμενη απόσταση του τελικού σημείου από την αρχή των αξόνων;
📘Πηγή: Tom Yuster, \textit{Math Horizons}, Απρίλιος 2017.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου