Ο Gerolamo Saccheri (1667–1733), Ιησουΐτης ιερέας και καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Παβίας, υπήρξε μια αξιοσημείωτη αλλά συχνά παραγνωρισμένη μορφή της ιστορίας των μαθηματικών.
Αν και έζησε στον 17ο και 18ο αιώνα, οι εργασίες του άνοιξαν τον δρόμο για μια γεωμετρική επανάσταση που θα ερχόταν έναν αιώνα αργότερα: τη γέννηση της μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
Ένας ευφυής αλλά «παγιδευμένος» μαθηματικός
Ο Saccheri ήταν ευρυμαθής και ικανός μαθηματικός, όμως χαρακτηριζόταν από μια έντονη προσκόλληση στην ευκλείδεια παράδοση.
Είχε την ακλόνητη πεποίθηση ότι το περίφημο 5ο Αίτημα του Ευκλείδη —το αξίωμα των παραλλήλων— μπορούσε να αποδειχθεί ως θεώρημα από τα υπόλοιπα αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.Αυτή η εμμονή τον οδήγησε στη συγγραφή του σημαντικού του έργου "Euclides ab omni naevo vindicatus" (Ο Ευκλείδης απαλλαγμένος από κάθε σφάλμα, Μιλάνο, 1733), όπου προσπάθησε με αυστηρό λογικό συλλογισμό να επιβεβαιώσει την εγκυρότητα του 5ου Αιτήματος μέσω της μεθόδου της εις άτοπον απαγωγής (reductio ad absurdum). Δηλαδή, υπέθεσε ότι το 5ο αίτημα είναι ψευδές και επιδίωξε να οδηγηθεί σε αντίφαση, ώστε να αποδείξει την αναγκαιότητά του.
Το Τετράπλευρο Saccheri και το παράδοξο μονοπάτι προς τη μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία
Για να πετύχει τον σκοπό του, ο Saccheri επινόησε ένα γεωμετρικό σχήμα που έμεινε γνωστό ως τετράπλευρο του Saccheri: ένα ισοσκελές τετράπλευρο με ορθές γωνίες στη βάση και πλευρές ίσου μήκους κάθετες στη βάση. Το σχήμα αυτό αποδείχτηκε καθοριστικό στην πορεία της γεωμετρικής σκέψης.
-
Να είναι ορθές,
-
Να είναι αμβλείες,
-
Να είναι οξείες.
Απέκλεισε την περίπτωση των αμβλειών γωνιών ως αντιφατική, και αποδέχθηκε —λανθασμένα— ότι και η περίπτωση των οξείων οδηγεί σε παραλογισμό. Όμως τα συμπεράσματα που προκύπτουν από αυτήν την τελευταία υπόθεση, είναι απολύτως συνεπή — και μάλιστα αποτελούν θεμελιώδεις προτάσεις της Υπερβολικής Γεωμετρίας, την οποία τελικά διατύπωσαν οι Lobachevsky και Bolyai περίπου έναν αιώνα αργότερα.
Με άλλα λόγια, ο Saccheri είχε μπροστά του μια νέα γεωμετρία, αλλά την απέρριψε διαισθητικά ως «παράλογη», γιατί δεν εναρμονιζόταν με την ευκλείδεια αντίληψη του χώρου.
Τα αξιώματα που χρησιμοποίησε
Η μαθηματική του συλλογιστική στηρίχτηκε:
-
Στα τέσσερα πρώτα αιτήματα και τις πρώτες 28 προτάσεις του Πρώτου Βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη (οι οποίες δεν απαιτούν το 5ο Αίτημα),
-
Στο Αξίωμα του Αρχιμήδη – Ευδόξου,
-
Σε ένα αξίωμα συνέχειας ή πληρότητας, που αντιστοιχεί στη σύγχρονη έννοια της τοπολογικής πληρότητας,
-
Στην πρόταση Ι.16 του Ευκλείδη, που προϋποθέτει την άπειρη έκταση της ευθείας γραμμής,
-
Και στο αξίωμα του Pasch, χωρίς ρητή αναφορά.
Η Ιστορική Δικαίωση
Η αξία του έργου του Saccheri αναγνωρίστηκε πολύ αργότερα. Ο Eugenio Beltrami, ένας από τους πρώτους που διατύπωσαν μαθηματικά ακριβή μοντέλα της μη-Ευκλείδειας γεωμετρίας, τον αποκάλεσε δίκαια πρόδρομο του Legendre και του Lobachevsky. Αν ο Saccheri δεν ήταν τόσο προσκολλημένος στην επιβεβαίωση του Ευκλείδη, ίσως να είχε μείνει στην ιστορία ως ο πραγματικός πατέρας της Υπερβολικής Γεωμετρίας.
Συμπέρασμα
Ο Gerolamo Saccheri είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα μαθηματικού που, ενώ έφτασε πολύ κοντά σε μια επιστημονική ανακάλυψη, δεν κατόρθωσε να υπερβεί τις φιλοσοφικές και διαισθητικές του προκαταλήψεις. Το έργο του, αν και αρχικά παρεξηγημένο, αποτελεί σήμερα θεμέλιο λίθο στην ιστορική εξέλιξη της Γεωμετρίας και μας υπενθυμίζει πόσο λεπτή είναι η γραμμή ανάμεσα στην προσκόλληση στην παράδοση και την επανάσταση στη σκέψη.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου