Prime Number Theorem: Η κατανομή των πρώτων αριθμών μέσα στον άπειρο κόσμο των φυσικών

✅ Οι πρώτοι αριθμοί είναι «αραιοί»

Αν και υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί (σύμφωνα με το θεώρημα του Ευκλείδη), η πυκνότητά τους μειώνεται όσο μεγαλώνουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών που εξετάζουμε.

Πιο συγκεκριμένα, το θεώρημα των πρώτων αριθμών λέει ότι:

$\pi(n) \sim \dfrac{n}{\ln(n)}$

όπου:

• $\pi (n)$ είναι το πλήθος των πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων του n

• $\ln (n)$είναι ο φυσικός λογάριθμος του $n$

Άρα, το ποσοστό των πρώτων μέχρι το $n$ είναι περίπου:

$\dfrac{\pi(n)}{n} \sim \dfrac{1}{\ln(n)}$

που τείνει στο μηδέν καθώς το $n\to \mathrm{\infty }$.

---

📌 Συμπέρασμα

Οι πρώτοι αριθμοί είναι λίγοι σε σχέση με όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Όσο μεγαλώνει το $n$, τόσο μικρότερο ποσοστό αποτελούν οι πρώτοι.