Η Απόδειξη που Ισχύει Μόνο στην Ιαπωνία: Η Διαμάχη για την Εικασία abc και η Αποδοχή του Mochizuki

Τι είναι η εικασία abc;

Η εικασία abc είναι ένα από τα πιο σημαντικά και φημισμένα ανοιχτά προβλήματα στη θεωρία αριθμών. Διατυπώθηκε τη δεκαετία του 1980 και σχετίζεται με τις εξισώσεις της μορφής: 

a+b=c,

όπου a,b,c είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί χωρίς κοινούς πρώτους παράγοντες (δηλαδή πρώτοι μεταξύ τους).

Η εικασία αφορά το πώς το μέγεθος του c σχετίζεται με το προϊόν των διαφορετικών πρώτων παραγόντων που εμφανίζονται στα a,b και c. Συγκεκριμένα, υποστηρίζει ότι το c δεν μπορεί να είναι «πολύ μεγαλύτερο» από το γινόμενο αυτών των πρώτων παραγόντων (που συμβολίζεται συνήθως ως rad(abc)).

Η ακριβής διατύπωση είναι τεχνική, αλλά η γενική ιδέα είναι πως αν το $c$ μεγαλώσει πολύ σε σχέση με τους πρώτους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην εξίσωση, αυτό συμβαίνει μόνο σπάνια — και αυτή η σπανιότητα έχει βαθιές επιπτώσεις σε άλλα κλασικά προβλήματα των αριθμών.

---

Η Απόδειξη του Shinichi Mochizuki

Το 2012, ο Ιάπωνας μαθηματικός Shinichi Mochizuki από το Πανεπιστήμιο του Κιότο δημοσίευσε μια τεράστια σειρά από άρθρα — πάνω από 500 σελίδες — όπου ισχυρίστηκε ότι αποδεικνύει την εικασία abc. Η μέθοδος που χρησιμοποίησε είναι η περίφημη θεωρία της διασυνδεόμενης αρμονίας (Inter-universal Teichmüller Theory, ή IUT).

Η θεωρία IUT είναι εξαιρετικά τεχνική και χρησιμοποιεί εντελώς νέα εργαλεία και ιδέες, που απομακρύνονται πολύ από τα κλασικά μαθηματικά εργαλεία που γνωρίζουν οι περισσότεροι μαθηματικοί. Αυτό έκανε την κατανόηση της απόδειξης ιδιαίτερα δύσκολη.

---

Η Διαμάχη και η «Ιαπωνική» Αποδοχή

Ενώ αρκετοί μαθηματικοί στην Ιαπωνία άρχισαν να αποδέχονται και να μελετούν σοβαρά την απόδειξη, διεθνώς υπήρξε αμφισβήτηση και σύγχυση. Ο Mochizuki επέλεξε να παρουσιάζει και να εξηγεί την απόδειξη κυρίως στα Ιαπωνικά και σε συγκεκριμένα περιβάλλοντα, γεγονός που εμπόδισε τη διάδοσή της.

Το 2018, οι Γερμανοί μαθηματικοί Peter Scholze και Jakob Stix, που θεωρούνται κορυφαίοι στον τομέα τους, εντόπισαν ένα κρίσιμο σημείο στην απόδειξη που θεωρούν ότι είναι λανθασμένο ή ανεπαρκώς τεκμηριωμένο. Ο Mochizuki αρνήθηκε αυτές τις κριτικές, υποστηρίζοντας πως οι Scholze και Stix δεν κατανοούν σωστά τη θεωρία IUT.

Παρά τις αντιδράσεις, το 2020 η απόδειξη δημοσιεύτηκε σε ένα από τα περιοδικά του Ινστιτούτου Μαθηματικών Επιστημών του Κιότο, όπου εργάζεται ο Mochizuki, γεγονός που ενίσχυσε την αίσθηση ότι η αποδοχή της απόδειξης παραμένει κατά κύριο λόγο τοπική — «ισχύει μόνο στην Ιαπωνία».

---

Νέα Εξέλιξη: Η Πρόταση του Kirti Joshi

Πρόσφατα, ο Kirti Joshi από το Πανεπιστήμιο της Αριζόνα ισχυρίστηκε ότι και ο Mochizuki και οι Scholze/Stix κάνουν λάθη. Επιπλέον, πρότεινε μια δική του λύση για την εικασία abc, αν και αυτή η πρόταση δεν έχει ακόμα ευρέως εξεταστεί ή επιβεβαιωθεί.

---

Γιατί είναι σημαντική αυτή η διαμάχη;

Η εικασία abc συνδέεται με πολλές άλλες σημαντικές υποθέσεις και θεωρήματα στη θεωρία αριθμών, όπως η Κατανομή των Πρώτων Αριθμών, η Θεωρία Ελλείπουσων Καμπυλών, και η Θεωρία του Fermat. Μια απόδειξη θα μπορούσε να φέρει επανάσταση στον τρόπο που κατανοούμε τους αριθμούς.

Παράλληλα, η διαμάχη αναδεικνύει κρίσιμα ζητήματα:

• Επικοινωνία στην επιστημονική κοινότητα: Πώς να μεταδοθούν και να κατανοηθούν πολύπλοκες αποδείξεις όταν αφορούν νέα μαθηματικά εργαλεία;

• Επαλήθευση και εμπιστοσύνη: Πώς η μαθηματική κοινότητα μπορεί να συμφωνήσει ή να απορρίψει αποτελέσματα που κανείς δεν μπορεί εύκολα να επαληθεύσει;

• Γλωσσικά και πολιτισμικά εμπόδια: Πόσο επηρεάζουν την παγκόσμια αποδοχή τα εμπόδια στη γλώσσα και τη διάδοση της γνώσης;