❓ Είναι η συνάρτηση $y = \cos(\sqrt{x})$ περιοδική;

📈 Γραφική Παράσταση

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δείχνει ξεκάθαρα ότι η $y = \cos(\sqrt{x})$ δεν είναι περιοδική. 

Μπορούμε, όμως, να το αποδείξουμε αυστηρά;

📐 Απόδειξη με τη Μέθοδο της εις Άτοπον Απαγωγής

Υποθέτουμε ότι η $\cos(\sqrt{x})$ είναι περιοδική συνάρτηση, δηλαδή:

Υπάρχει ένας αριθμός $T>0$ τέτοιος ώστε:

$cos⁡(x+T)=cos⁡(x)$ 

για κάθε $x≥0$.

Επιλέγουμε ειδικά τις τιμές:

• $x=0$: τότε η υπόθεση δίνει $\cos(\sqrt{T}) = \cos(0) = 1$

• Άρα, έχουμε:

$\cos(\sqrt{T}) = 1 \Rightarrow \sqrt{T} = 2\pi n \quad \text{για κάποιον ακέραιο } n \Rightarrow$

$\Rightarrow T = (2\pi n)^2 = 4\pi^2 n^2$

Δηλαδή, το $T$ πρέπει να είναι πολλαπλάσιο το $\pi^2$, άρα άρρητος αριθμός, αφού το $π$ είναι άρρητος.

Όμως, τώρα πάμε στην υπόθεση:

• Για x=T, τότε:

$\cos(\sqrt{2T}) = \cos(\sqrt{T + T}) = \cos(\sqrt{T}) = 1 \Rightarrow$

$\Rightarrow \sqrt{2T} = 2\pi m \Rightarrow T = 2\pi^2 m^2$

Άρα το T πρέπει ταυτόχρονα να είναι ίσον με $4\pi^2 n^2$ και $2\pi^2 m^2.$

Από αυτό παίρνουμε:

$$4\pi^2 n^2 = 2\pi^2 m^2 \Rightarrow 2n^2 = m^2 \Rightarrow \frac{m^2}{n^2} = 2$$

Άτοπο! Η εξίσωση αυτή δηλώνει ότι το 2 είναι ρητός αριθμός και ταυτόχρονα τέλειο τετράγωνο — πράγμα που δεν ισχύει, αφού το 2 δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

---

✅ Συμπέρασμα

Η αρχική υπόθεση οδηγεί σε αντίφαση, άρα η συνάρτηση

$\cos(\sqrt{x})$

δεν είναι περιοδική.