Η Γεωμετρική Προσέγγιση του Ραμανουτζάν για το π: Μια Εκπληκτική Κατασκευή του 1914

Το 1914, ο μεγάλος Ινδός μαθηματικός Σριναβάσα Ραμανούτζαν παρουσίασε μια γεωμετρική κατασκευή για την προσέγγιση του αριθμού π. Η κατασκευή του ήταν ισοδύναμη με τον υπολογισμό της τιμής:

$${(9^2+\frac{{19}^2}{22})}^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{\frac{2143}{22}}\approx \mathrm{3.1415926525...}$$

Η προσέγγιση αυτή δίνει σωστά τα πρώτα 8 δεκαδικά ψηφία του π (μέχρι και το 2 στο 3.14159265), κάτι εξαιρετικά εντυπωσιακό για μια καθαρά γεωμετρική μέθοδο.

Ο Ραμανούτζαν περιέγραψε την κατασκευή ενός ευθύγραμμου τμήματος $OS$, του οποίου η μέση αναλογία με τη διάμετρο $OB$ προσεγγίζει το $\frac{\pi}{6}​$, δηλαδή το 1/6 της περιφέρειας. Το σφάλμα αυτής της κατασκευής είναι τόσο μικρό, που ακόμη και αν η διάμετρος ήταν 8.000 μίλια, το σφάλμα θα ήταν μικρότερο από μια ίντσα!

---

📐 Περιγραφή της κατασκευής βήμα προς βήμα (απλοποιημένη):

1. Θεώρησε κύκλο με διάμετρο $AB$ και κέντρο $O$.

2. Διχοτόμησε το τόξο $ACB$ στο σημείο $C$.

3. Τριχοτόμησε το τμήμα $AO$, και έστω σημείο διαίρεσης το $T$.

4. Φτιάξε το $BC$ και από αυτό αποκόψε τμήματα $CM$ και $MN$ ίσα με $AT$.

5. Ένωσε τα σημεία $AM$ και $AN$.

6. Πάνω στο $AN$, απόκοψε το $AP$ ίσο με το $AM$.

7. Από το σημείο $P$, φέρε το $PQ$ παράλληλο στο $MN$, τέμνοντας το $AM$ στο $Q$.

8. Ένωσε το $OQ$.

9. Από το σημείο $T$, φέρε το $TR$ παράλληλο στο $OQ$, που τέμνει το $AQ$ στο $R$.

10. Από το $A$, φέρε κάθετο $AS$ ίσο με το $AR$, και ένωσε το $OS$.

🔎 Σχόλιο: Η ιδιοφυΐα του Ραμανούτζαν φαίνεται ξεκάθαρα μέσα από αυτή την κατασκευή. Χωρίς τη χρήση λογισμού, άπειρων σειρών ή υπολογιστών, κατόρθωσε να συλλάβει με εντυπωσιακή ακρίβεια έναν από τους πιο θεμελιώδεις αριθμούς των μαθηματικών.