Τι είναι το $(−1)^π$ ; — Υπάρχει, πόσες τιμές έχει, και τι είδους αριθμός είναι;

🔍 Ερώτηση:

Τι είναι το $(-1)^\pi$; Είναι θετικός ή αρνητικός αριθμός; Έχει μία τιμή ή άπειρες; Υπάρχει καν;

---

✅ Σύντομη απάντηση:

Το $(-1)^\pi$ υπάρχει, αλλά δεν είναι πραγματικός αριθμός. Έχει άπειρες τιμές — όλες μιγαδικές — και δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός.

---

🧠 Επεξήγηση:

Γενικά, για μιγαδικές δυνάμεις χρησιμοποιούμε τον ορισμό:

$$a^b = e^{b \cdot \ln a}$$

Όμως το $\ln(-1)$ δεν ορίζεται στους πραγματικούς αριθμούς, μόνο στους μιγαδικούς, όπου ισχύει:

$$\ln(-1) = i\pi + 2k\pi i \quad \text{για κάθε} k \in \mathbb{Z}$$

Άρα:

$$(-1)^\pi = e^{\pi \cdot \ln(-1)} = e^{\pi \cdot (i\pi + 2k\pi i)} = e^{i\pi^2} \cdot e^{2k i\pi^2}$$

Το αποτέλεσμα είναι άπειρες διαφορετικές μιγαδικές τιμές (μία για κάθε ακέραιο $k$).

---

🔁 Αν πάρουμε την κύρια τιμή (principal value):

$$(-1)^\pi := e^{i\pi^2}$$

Πρόκειται για έναν συγκεκριμένο μιγαδικό αριθμό με μέτρο 1 και κάποιο μη μηδενικό όρισμα. Ούτε θετικός, ούτε αρνητικός: μιγαδικός.

---

❗ Άρα συνοψίζοντας:

• ✅ Υπάρχει (ως μιγαδικός αριθμός)

• 🔁 Έχει άπειρες τιμές 

• ❌ Δεν είναι πραγματικός

• ❌ Δεν είναι ούτε θετικός, ούτε αρνητικός