Ένα έξυπνο πρόβλημα συνδυαστικής από την Ολυμπιάδα Μαθηματικών των ΗΠΑ 2023

Έστω n≥3 ένας ακέραιος αριθμός. Λέμε ότι μια διάταξη των αριθμών $1,2,…,n^2$ σε έναν πίνακα $n \times n$ είναι:

• έγκυρη ως προς τις γραμμές, αν οι αριθμοί σε κάθε γραμμή μπορούν να μετατεθούν ώστε να σχηματίσουν αριθμητική πρόοδο,
  

• έγκυρη ως προς τις στήλες, αν οι αριθμοί σε κάθε στήλη μπορούν να μετατεθούν ώστε να σχηματίσουν αριθμητική πρόοδο.

Ερώτημα: Για ποιες τιμές του n είναι δυνατόν να μετασχηματιστεί οποιαδήποτε διάταξη έγκυρη για τις γραμμές σε διάταξη έγκυρη για τις στήλες, μεταθέτοντας τους αριθμούς μέσα σε κάθε γραμμή;