📌 Ποια είναι η Γεωμετρική Ερμηνεία της Ορίζουσας 2×2;

Η ορίζουσα ενός πίνακα συχνά φαίνεται σαν ένας αλγεβρικός τύπος χωρίς εμφανή σημασία. Όμως, στην περίπτωση ενός πίνακα 2×2, η ορίζουσα έχει μια όμορφη γεωμετρική ερμηνεία!

Έστω δύο διανύσματα στο επίπεδο:

$${\vec{v}}_1=\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right),{\vec{v}}_2=\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$$

Ο πίνακας που σχηματίζουν είναι:

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

Η ορίζουσα του πίνακα αυτού είναι:

$$\det (A)=ad-bc$$

🔷 Τι σημαίνει αυτό γεωμετρικά;

Το απόλυτο της ορίζουσας $|\det(A)|$ ισούται με το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου που σχηματίζουν τα διανύσματα $\vec{v}_1$ και $\vec{v}_2$ ως πλευρές.

Επιπλέον, το πρόσημο της ορίζουσας μάς πληροφορεί για τον προσανατολισμό:

• Αν το αποτέλεσμα είναι θετικό, τα διανύσματα σχηματίζουν αριστερόστροφο σύστημα.

• Αν είναι αρνητικό, τότε το σύστημα είναι δεξιόστροφο.

🔶 Παράδειγμα:

$${\vec{v}}_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right),{\vec{v}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)\Rightarrow \det =3\cdot 2-0\cdot 0=6$$

Άρα, το παραλληλόγραμμο που σχηματίζεται έχει εμβαδόν 6.