[30] - Algebraic Equations for and from Math Contests

Δίνονται τρεις εξισώσεις δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές, και γνωρίζουμε ότι:

• Η εξίσωση $ax^2 + bx + c = 0$ δεν έχει πραγματικές λύσεις.
• Η εξίσωση $(a−1)x2+(b−1)x+(c−1)=0$ έχει ακριβώς μία πραγματική λύση.
• Η εξίσωση $(a−2)x2+(b−2)x+(c−2)=0$ έχει δύο πραγματικές λύσεις.

Δεδομένου ότι ισχύουν δύο από τις παραπάνω προτάσεις κάθε φορά:

(α) Αν γνωρίζουμε ότι ισχύουν οι δύο πρώτες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ισχύει και η τρίτη;

(β) Αν γνωρίζουμε ότι ισχύουν η δεύτερη και η τρίτη, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ισχύει και η πρώτη;