Ποιος έχει δίκιο; Ο Κοσμήτορας ή οι Φοιτητές;

Έχετε παρατηρήσει ότι το μέσο μέγεθος διαμερισμάτων στην περιοχή σας είναι μάλλον μικρό, αλλά όταν ρωτάτε τους γείτονές σας, οι περισσότεροι σας λένε ότι μένουν σε μεγαλύτερα διαμερίσματα;

Ή ότι ο μέσος μισθός στην εταιρεία σας φαίνεται χαμηλός, αλλά όταν μιλάτε με τους συναδέλφους σας, οι περισσότεροι φαίνεται να κερδίζουν περισσότερα από αυτό; Ή ότι η κίνηση στην πόλη σας είναι απαίσια, αλλά οι περισσότεροι άνθρωποι που γνωρίζετε μετακινούνται με τα μέσα μαζικής μεταφοράς;

Πώς μπορούν να προκύψουν αυτά τα παράδοξα και ποιος έχει δίκιο;

---

Η ιστορία του κοσμήτορα και των φοιτητών

Ο κοσμήτορας ενός διάσημου πανεπιστημίου ισχυρίζεται ότι προσφέρουν μια πιο εξατομικευμένη μαθησιακή εμπειρία επειδή ο μέσος αριθμός φοιτητών στις τάξεις τους είναι πολύ χαμηλός. Κι όμως, στην τάξη οι φοιτητές παραπονιούνται για το ακριβώς αντίθετο! Η μέση τάξη είναι γεμάτη με πολύ κόσμο και οι εκπαιδευτικές συνεδρίες είναι θορυβώδεις και διάσπαρτες.

Πώς είναι δυνατόν αυτό;

---

Το πρόβλημα των μέσων όρων

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν 16 σεμιναριακά μαθήματα, τα οποία έχουν 10 φοιτητές το καθένα, και 2 μεγάλες διαλέξεις με 100 φοιτητές η καθεμία.

• Συνολικός αριθμός φοιτητών: $16 \times 10 + 2 \times 100 = 160 + 200 = 360$

• Συνολικός αριθμός μαθημάτων: 18

Ο μέσος αριθμός φοιτητών ανά μάθημα είναι:

$$\frac{360}{18}=20$$

Αυτό είναι το μέσο που επικαλείται ο κοσμήτορας.

---

Η οπτική των φοιτητών

Όμως, τι συμβαίνει αν ρωτήσουμε τους ίδιους τους φοιτητές; Πόσους συμφοιτητές έχουν στα μαθήματά τους;

• Οι 160 φοιτητές που βρίσκονται στα 16 σεμιναριακά μαθήματα, έχουν τάξη με 10 φοιτητές (άρα 9 συμφοιτητές).

• Οι 200 φοιτητές που παρακολουθούν τις 2 μεγάλες διαλέξεις, έχουν τάξη με 100 φοιτητές (άρα 99 συμφοιτητές).

Αν πάρουμε τον μέσο όρο του μεγέθους της τάξης από την οπτική των φοιτητών, θα είναι:

$$\frac{160\times 10+200\times 100}{360}=\frac{1600+20000}{360}=\frac{21600}{360}=60$$

Άρα, από την πλευρά των φοιτητών, ο μέσος αριθμός συμφοιτητών είναι 60, πολύ μεγαλύτερος από τον μέσο όρο των 20 που παρουσιάζει ο κοσμήτορας!

---

Γιατί συμβαίνει αυτό το παράδοξο;

Ο λόγος είναι ότι ο κοσμήτορας υπολογίζει τον μέσο όρο των τάξεων, χωρίς να λάβει υπόψη τον αριθμό των φοιτητών σε κάθε τάξη. Οι φοιτητές όμως βιώνουν τον μέσο όρο των συμφοιτητών τους, που είναι μια βαρυσήμαντη μέση τιμή όπου οι μεγαλύτερες τάξεις έχουν μεγαλύτερο βάρος.

Αυτή η διαφορά στην οπτική οφείλεται σε ένα μαθηματικό φαινόμενο γνωστό ως παράδοξο του μέσου όρου των φίλων (friendship paradox) ή πιο γενικά ως διαφορά ανάμεσα στον μέσο όρο των ομάδων και στον μέσο όρο των ατόμων μέσα σε αυτές.

---

Τι μπορούμε να μάθουμε;

• Οι στατιστικές και οι μέσοι όροι μπορούν να παρουσιάζουν την ίδια κατάσταση με εντελώς διαφορετικό τρόπο, ανάλογα με το ποια οπτική υιοθετούμε.

• Είναι σημαντικό να κατανοούμε πώς υπολογίζονται οι μέσοι όροι και ποια δεδομένα περιλαμβάνουν.

• Στην καθημερινή ζωή, όταν ακούμε αριθμούς, καλό είναι να σκεφτόμαστε ποια είναι η πραγματική βάση του υπολογισμού τους.

---

Συμπέρασμα

Και οι δύο πλευρές έχουν δίκιο, απλώς κοιτούν το ίδιο πρόβλημα από διαφορετική οπτική γωνία. Ο κοσμήτορας αναφέρεται στον μέσο όρο ανά μάθημα, ενώ οι φοιτητές βιώνουν τον μέσο όρο συμφοιτητών τους.

Το παράδειγμα αυτό μας υπενθυμίζει ότι η στατιστική και η διαίσθηση δεν είναι πάντα σύμφωνες, και η προσεκτική ανάλυση των δεδομένων είναι απαραίτητη για να κατανοήσουμε την πραγματικότητα.