Μπορεί η Δυτική Βιρτζίνια να εγγραφεί σε τετράγωνο; — Μια απόδειξη ύπαρξης

Φανταστείτε ότι έχετε έναν χάρτη της πολιτείας Δυτική Βιρτζίνια — με όλα τα φυσικά της όρια και ακμές. Αναρωτιέσαι αν είναι δυνατό να σχεδιάσεις ένα τετράγωνο γύρω από αυτήν, έτσι ώστε κάθε πλευρά του τετραγώνου να «αγγίζει» το σχήμα της Δυτικής Βιρτζίνιας, δηλαδή να είναι εφαπτόμενη σε κάποιο σημείο της περιφέρειάς της.

Πιο απλά, μπορείτε να «περιγράψετε» το σχήμα της πολιτείας μέσα σε ένα τετράγωνο που την ακουμπάει στις τέσσερις πλευρές του;

Τι σημαίνει «εγγραφή σε τετράγωνο»

Η έννοια της «εγγραφής» εδώ είναι ότι το τετράγωνο δεν απλά περικλείει το σχήμα, αλλά κάθε πλευρά του ακουμπάει σε τουλάχιστον ένα σημείο της περιφέρειας. Δεν πρόκειται να είναι απλά ένα τετράγωνο που περιβάλλει τη Δυτική Βιρτζίνια, αλλά ένα τετράγωνο που «αγκαλιάζει» το σχήμα από τις τέσσερις πλευρές του.

Γιατί είναι σημαντικό αυτό το ερώτημα;

Αυτό το πρόβλημα είναι ένα κλασικό παράδειγμα απόδειξης ύπαρξης (existence proof). Στα μαθηματικά, πολλές φορές αποδεικνύουμε ότι κάτι υπάρχει, ακόμα κι αν δεν ξέρουμε πώς να το κατασκευάσουμε ή να το βρούμε αμέσως.

Ποια είναι η απάντηση;

Ναι, μπορεί! Για κάθε επίπεδο, κλειστό, συνεκτικό και συνεχή σχήμα (και ένας χάρτης πολιτείας όπως η Δυτική Βιρτζίνια πληροί αυτές τις προϋποθέσεις), υπάρχει ένα τετράγωνο που μπορεί να το εγγράψει, δηλαδή να το περιβάλλει με κάθε πλευρά του να εφάπτεται του σχήματος.

Αυτό το αποτέλεσμα προκύπτει από τη θεωρία των σταθερών σημείων και τα ιδιαιτέρως προηγμένα θεωρήματα τοπολογίας και γεωμετρίας (π.χ. θεωρήματα που αφορούν τα περίπλοκα σχήματα και τη συμπαγή μορφή τους).

Μια σύντομη ιδέα της απόδειξης

1. Φανταστείτε ότι ξεκινάμε με ένα τετράγωνο που περικλείει ολόκληρη την πολιτεία — π.χ. ένα πολύ μεγάλο τετράγωνο που είναι σίγουρα μεγαλύτερο από τη Δυτική Βιρτζίνια.

2. Μετακινώντας και περιστρέφοντας το τετράγωνο, αλλάζουμε το πώς «αγγίζει» το σχήμα.

3. Με κατάλληλη χρήση της συνέχειας και της συνεκτικότητας του σχήματος, μπορούμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει μια θέση και προσανατολισμός του τετραγώνου ώστε και οι τέσσερις πλευρές του να είναι ταυτόχρονα εφαπτόμενες στην περιφέρεια του σχήματος.

Αυτή η απόδειξη δεν δίνει απαραίτητα τη συγκεκριμένη θέση ή μέγεθος του τετραγώνου, αλλά εξασφαλίζει ότι υπάρχει.