Η διαφορά μεταξύ 𝑑, 𝛿, Δ και ∂ στη Φυσική και τα Μαθηματικά

𝑑 (πεζό d)

Το σύμβολο 𝑑 (d) είναι ένα πεζό γράμμα d που χρησιμοποιείται συχνά στον λογισμό για να αναπαραστήσει μια απειροελάχιστη μεταβολή ή παράγωγο. Προέρχεται από τη λατινική λέξη differentia, που σημαίνει «διαφορά».

Για παράδειγμα, αν έχουμε μια συνάρτηση $f(x) = x^2$, τότε η παράγωγος της $f$ ως προς το $\mathrm{x }$γράφεται ως

$$\frac{df}{dx} = 2x.$$Εδώ, το 𝑑 υποδηλώνει την παράγωγο της συνάρτησης $f$ σε σχέση με το $x$.

Η χρήση του συμβόλου 𝑑 χρονολογείται στα τέλη του 17ου αιώνα και αποδίδεται στον Γερμανό μαθηματικό Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (Gottfried Wilhelm Leibniz), ο οποίος ανέπτυξε τη σημειογραφία του λογισμού. Ο Λάιμπνιτς χρησιμοποίησε το $d$, το $\Delta y/\Delta x$, και το $dy/dx$ για την αναπαράσταση παραγώγων. Το 𝑑 έγινε σταδιακά το πιο διαδεδομένο σύμβολο.

---

∂ (σύμβολο μερικής παραγώγου)

Το σύμβολο ∂ χρησιμοποιείται στον πολυμεταβλητό λογισμό για να δηλώσει τη μερική παράγωγο μιας συνάρτησης ως προς μία μεταβλητή, ενώ οι άλλες μεταβλητές θεωρούνται σταθερές. Προέρχεται από τη λατινική λέξη partialis, που σημαίνει «μερικός».

Για παράδειγμα, αν $f(x,y) = x^2 y + y^2$, τότε:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy, \quad \text{και} \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2y.$$

Η χρήση του συμβόλου ∂ εισήχθη στις αρχές του 19ου αιώνα από τον Γερμανό μαθηματικό Καρλ Γκούσταβ Γιάκομπ Γιάκομπι (Carl Gustav Jacob Jacobi), που το χρησιμοποίησε στα έργα του για τις ελλειπτικές συναρτήσεις και τον πολυμεταβλητό λογισμό. Από τότε, έγινε βασικό εργαλείο στη φυσική, τη μηχανική και άλλους κλάδους.

---

Δ (κεφαλαίο Δέλτα)

Το κεφαλαίο Δ (δέλτα) είναι το τέταρτο γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου και χρησιμοποιείται για να συμβολίσει μια πεπερασμένη αλλαγή ή διαφορά. Για παράδειγμα, αν έχουμε μια ακολουθία αριθμών $\{1, 3, 5, 7\}$, η διαφορά μεταξύ κάθε ζεύγους γειτονικών αριθμών είναι 2, που μπορούμε να γράψουμε ως $\Delta = 2$.

Το Δ χρησιμοποιείται επίσης για να δηλώσει τον τελεστή Laplace στον διανυσματικό λογισμό.

Η χρήση του κεφαλαίου Δ χρονολογείται από τις αρχές του 18ου αιώνα και αποδίδεται στον Ιωάννη (Γιόχαν) Μπερνούλι (Johann Bernoulli). Έγινε ευρέως αποδεκτό τον 19ο και 20ό αιώνα, ιδιαίτερα στη θεωρία πεπερασμένων διαφορών και τον διακριτό λογισμό.

---

𝛿 (πεζό δέλτα)

Το πεζό γράμμα 𝛿 (δέλτα) χρησιμοποιείται στη φυσική και τη μηχανική για να δηλώσει μια μικρή ή πεπερασμένη αλλαγή. Επίσης, το σύμβολο 𝛿 συμβολίζει τη γνωστή συνάρτηση δέλτα Dirac, που είναι μια κατανομή μηδέν παντού εκτός από το μηδέν, όπου είναι άπειρη, με συνολικό ολοκλήρωμα 1.

Για παράδειγμα, η συνέλιξη μιας συνάρτησης $f(x)$ με τη συνάρτηση δέλτα Dirac γράφεται ως:

$$f(x) * \delta(x)$$

που χρησιμοποιείται για να μοντελοποιήσει την επίδραση σημειακής πηγής σε ένα σύστημα.

Το σύμβολο 𝛿 εμφανίστηκε τον 19ο αιώνα, με σημαντική χρήση από τον William Thomson (Lord Kelvin) για να δηλώσει μικρές μεταβολές στη θερμοδυναμική. Αργότερα, η συνάρτηση δέλτα Dirac ορίστηκε μαθηματικά στις αρχές του 20ού αιώνα από τον Paul Dirac.