🎓 Η Ιστορία του Λογισμού: Μια Μαθηματική Περιπέτεια σε Επεισόδια

🎓 Η Ιστορία του Λογισμού – Επεισόδιο 1

Ο Αρχιμήδης και η Σκιά του Άπειρου

📍 Συρακούσες, 3ος αιώνας π.Χ.

Μια εποχή χωρίς αριθμομηχανές, χωρίς άλγεβρα, χωρίς καν το μηδέν.

Κι όμως… ο Αρχιμήδης παίζει με το άπειρο.

---

🔍 Η Μαθηματική Ιδέα

Ο Αρχιμήδης προσπαθεί να υπολογίσει εμβαδά και όγκους σχημάτων. Δεν έχει στη διάθεσή του τη διαφορική εξίσωση, ούτε το ολοκλήρωμα. Αντί γι’ αυτό, αναπτύσσει τη μέθοδο της εξάντλησης:

Χωρίζει ένα σχήμα (όπως έναν κύκλο ή μια παραβολή) σε μικρότερα απλά σχήματα (πολύγωνα ή τραπέζια), και προσθέτει τα εμβαδά τους. Όσο περισσότερα βάζει, τόσο πιο κοντά έρχεται στην πραγματική τιμή.

Μπορεί να μην είχε τη μοντέρνα έννοια του ορίου, αλλά στην ουσία:

• προσεγγίζει την αληθινή τιμή από κάτω και από πάνω,

• δείχνει ότι η διαφορά μπορεί να γίνει όσο μικρή θέλουμε.

Σήμερα, θα λέγαμε:

«Ο Αρχιμήδης πήρε το όριο» — χωρίς να το ξέρει!

---

📐 Παράδειγμα: Εμβαδόν κάτω από Παραβολή

Έστω η παραβολή $y = 1 - x^2$, με $x\in [-1,1]$.

Ο Αρχιμήδης διαιρεί το σχήμα σε ορθογώνιες λωρίδες.

Υπολογίζει το άθροισμά τους, ξανά και ξανά, με περισσότερες λωρίδες κάθε φορά.

Το τελικό του συμπέρασμα:

Το εμβαδόν είναι ίσο με το $\dfrac{4}{3}$​.
(Και είχε δίκιο: το σύγχρονο ολοκλήρωμα δίνει $\int_{-1}^1 (1 - x^2) dx = \dfrac{4}{3}$.

---

🧠 Τι μας δίδαξε ο Αρχιμήδης

✔ Το άπειρο δεν χρειάζεται να το "πιάσεις" — μπορείς να το πλησιάσεις.

✔ Το ακριβές αποτέλεσμα μπορεί να βρεθεί με διαδοχικές προσεγγίσεις.

✔ Η λογική και η γεωμετρική διαίσθηση είναι πανίσχυρα εργαλεία, ακόμη και χωρίς συμβολισμό.