Το Σημείο Brocard και η Γωνία Brocard: Ένα Μαθηματικό Αριστούργημα της Γεωμετρίας Τριγώνου

Το πρώτο σημείο Brocard (ή θετικό) ενός επιπέδου τριγώνου με κορυφές A,B,C είναι το εσωτερικό σημείο Ω για το οποίο οι γωνίες ∠ΩAB,∠ΩBC,∠ΩCA είναι ίσες. Η κοινή τους τιμή ονομάζεται γωνία Brocard ω, και ικανοποιεί την ανίσωση $0<ω≤\dfrac{\pi}{6}$.​

Το δεύτερο σημείο Brocard (ή αρνητικό) Ω′, είναι επίσης ένα εσωτερικό σημείο του τριγώνου με την ιδιότητα ότι ∠Ω′BA=∠Ω′CB=∠Ω′AC. Τα δύο σημεία Brocard είναι ισογωνικά συζυγή, δηλαδή σχετίζονται με συμμετρία ως προς τις διχοτόμους των γωνιών. Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, τότε τα δύο σημεία συμπίπτουν και η γωνία Brocard είναι $ω=\dfrac{\pi}{6}$.

Η γεωμετρική διαμόρφωση που δημιουργείται από αυτά τα σημεία είναι γνωστή ως διαμόρφωση Brocard, και αποτελεί ένα εξαιρετικό παράδειγμα της λεγόμενης «γεωμετρίας του τριγώνου», ενός παρακλαδιού της Ευκλείδειας γεωμετρίας που άνθισε στο τέλος του 19ου αιώνα.

Παρότι το όνομα Brocard συνδέεται με τα σημεία αυτά, δεν ήταν ο πρώτος που τα μελέτησε. Ο A.L. Crelle τα ανέφερε ήδη το 1816, πολύ πριν τη δημοσίευση του H. Brocard το 1875.

---

Ιδιότητες και Σχέσεις του Σημείου Brocard

• Τα σημεία Brocard ανήκουν σε κύκλους που εφάπτονται σε πλευρές του τριγώνου και περνούν από δύο κορυφές του.

• Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου $O$, καθώς και τα σημεία $\Omega$ και $\Omega'$, σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο με κορυφή στο $O$ και γωνία $\angle \Omega O \Omega' = 2\omega$.

• Η απόσταση μεταξύ των Brocard σημείων και του κέντρου του κύκλου δίνεται από τον τύπο:

  $$\mathrm{\mid }\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }=2R\sin \omega \text{και}\mathrm{\mid }O\mathrm{\Omega }\mathrm{\mid }=R\sqrt{1-4{\sin }^2\mathrm{\omega }}$$όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

• Ο κύκλος Brocard περνά από τα σημεία $\Omega$, $\Omega'$ και το κέντρο $O$, και περιέχει επίσης το σημείο Lemoine $K$ του τριγώνου, που σχετίζεται με το συμμετρικό κέντρο μάζας του τριγώνου.

---

Τριγωνομετρικές Ταυτότητες για τη Γωνία Brocard

Η γωνία Brocard ικανοποιεί τις παρακάτω ταυτότητες:

• $$\cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma$$
• $$\frac{1}{{\sin }^2\omega }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+\frac{1}{{\sin }^2\beta }+\frac{1}{{\sin }^2\mathrm{\gamma }}$$

---

Αναβίωση του Ενδιαφέροντος: Η Ανισότητα του Yff

Το 1963, ο P. Yff διατύπωσε την ακόλουθη εντυπωσιακή ανισότητα:

$$8{\omega }^3\le \alpha \beta \gamma$$

Αυτό που την καθιστά ιδιαίτερη είναι ότι εμπεριέχει τις ίδιες τις γωνίες του τριγώνου και όχι τις τριγωνομετρικές τους συναρτήσεις. Η απόδειξη αυτής της ανισότητας δόθηκε από τον F. Abi-Khuzam το 1974 και πυροδότησε ανανεωμένο ενδιαφέρον για τη μελέτη του Brocard σημείου τις δεκαετίες που ακολούθησαν.