Κανόνας του Cramer: Επίλυση Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων με Ορίζουσες

Ο κανόνας του Cramer είναι μία μέθοδος για την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων που έχει όσες εξισώσεις όσες και αγνώστους (τετραγωνικό σύστημα), υπό την προϋπόθεση ότι ο ορίζων πίνακας του συστήματος έχει μη μηδενικό ορίζοντα (ορίζουσα).

Γενική Μορφή του Συστήματος

Έστω ότι έχουμε το σύστημα $n \times n$:

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}$$

Γράφουμε το σύστημα στη μορφή πίνακα:

$$A\vec{x} = \vec{b}$$

όπου:

• $A$ είναι ο πίνακας συντελεστών $n \times n$,

• $\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T$ είναι το διάνυσμα των αγνώστων,

• $\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)^T$ είναι το διάνυσμα των σταθερών όρων.

---

Προϋπόθεση

Ο κανόνας του Cramer ισχύει μόνο αν η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών είναι διάφορη του μηδενός:

$$\det (A)\mathrm{\ne }0$$

Αυτό εξασφαλίζει ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση.

---

Διατύπωση του Κανόνα του Cramer

Για κάθε άγνωστη $x_i$, η τιμή της δίνεται από τον τύπο:

$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$

όπου:

• $A_i$ είναι ο πίνακας που προκύπτει από τον πίνακα $A$ αντικαθιστώντας την $i$-οστή στήλη του $A$ με το διάνυσμα $\vec{b}$.

---

Παράδειγμα

Έστω το σύστημα:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases}$$

Ο πίνακας των συντελεστών:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Υπολογίζουμε:

$$\det(A) = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$$

Για το $x$:

$$A_1 = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A_1) = (8)(-1) - (1)(3) = -8 - 3 = -11 \Rightarrow x = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5}$$

Για το $y$:

$$A_2=\left(\begin{array}{cc}2& 8\\ 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow \det (A_2)=(2)(1)-(1)(8)=2-8=-6\Rightarrow y=\frac{-6}{-5}=\frac{6}{\mathrm{5}}$$

---

Συμπέρασμα

Ο κανόνας του Cramer προσφέρει έναν κομψό και καθαρό τρόπο επίλυσης τετραγωνικών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, αρκεί να η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών να μην είναι μηδέν.