Όταν ο Euler Έκανε Λάθος...

Ο Leonard Euler είχε διατυπώσει την εξής εικασία (Euler's Conjecture):

Για εκθέτες k>3, η εξίσωση της μορφής

$$a^k+b^k+c^k=d^k$$

δεν έχει λύσεις σε θετικούς ακεραίους, εκτός αν τουλάχιστον k όροι υπάρχουν στο πρώτο μέλος.

Η εικασία αυτή άντεξε για πάνω από δύο αιώνες, μέχρι που τη δεκαετία του 1960, τρεις Αμερικανοί μαθηματικοί (Lander, Parkin και Selfridge) ανακάλυψαν ένα εντυπωσιακό αντιπαράδειγμα για k=5:

$$133^5 + 110^5 + 84^5 + 27^5 = n^5.$$Ερώτηση:
Ποια είναι η τιμή του n;

Αργότερα, το 1988, και για την περίπτωση k=4, ο μαθηματικός Noam Elkies ανακάλυψε το πρώτο γνωστό αντιπαράδειγμα:

$${\mathrm{2.682.440}}^4+{\mathrm{15.365.639}}^4+{\mathrm{18.796.760}}^4={\mathrm{20.615.673}}^4\mathrm{.}$$

Η ανακάλυψη αυτή αποτέλεσε ορόσημο στη θεωρία αριθμών και οδήγησε σε πλήθος νέων ερωτημάτων σχετικά με την κατανομή των λύσεων σε εκθετικές εξισώσεις.