Το Διάσημο Περιθώριο του Fermat

Μια Ιστορία 350 Ετών

Η Μυστηριώδης Σημείωση

Το 1637, ο Pierre de Fermat, ένας ευφυής Γάλλος μαθηματικός με αστείρευτη περιέργεια, καθόταν στο σπίτι του στην Τουλούζη, διαβάζοντας την «Αριθμητική» του Διόφαντου.

Το βλέμμα του έπεσε σε ένα πρόβλημα — το Πρόβλημα 8 του δεύτερου βιβλίου — που ζητούσε να βρεθούν δύο τετράγωνα των οποίων το άθροισμα είναι επίσης τετράγωνο.

Κάτι άναψε μέσα του. Πήρε τη πένα του και, στο στενό περιθώριο της σελίδας, έγραψε μια φράση που θα άλλαζε για πάντα την ιστορία των μαθηματικών:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Στα ελληνικά:

«Είναι αδύνατον να χωρίσεις έναν κύβο σε δύο κύβους, μια τέταρτη δύναμη σε δύο τέταρτες δυνάμεις, ή οποιαδήποτε δύναμη μεγαλύτερη από τη δεύτερη σε δύο δυνάμεις ίδιου βαθμού. Έχω μια θαυμάσια απόδειξη γι’ αυτό, αλλά το περιθώριο είναι πολύ μικρό για να τη γράψω!»

Το Μαθηματικό Αίνιγμα

Αυτή η φράση έγινε γνωστή ως το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat και διατυπώνεται μαθηματικά ως:

Δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι a,b,c που να ικανοποιούν την εξίσωση

$a^n + b^n = c^n$

για κάθε ακέραιο n>2

Για n=2, γνωρίζουμε άπειρες λύσεις — τα γνωστά Πυθαγόρεια τρίγωνα, όπως 

$3^2 + 4^2 = 5^2$.

Αλλά για οποιοδήποτε μεγαλύτερο εκθέτη, ο Fermat ισχυριζόταν ότι καμία λύση δεν υπάρχει.

Ο Αγώνας των Αιώνων

• 17ος-18ος αιώνας: Οι σύγχρονοι του Fermat ξεκίνησαν την αναζήτηση της «θαυμάσιας απόδειξης». Ο ίδιος ο Fermat απέδειξε την περίπτωση n=4, αλλά για τις υπόλοιπες δυνάμεις, τίποτα δεν ήταν γνωστό.

• 18ος αιώνας: Ο Euler απέδειξε την περίπτωση $n=3$, ανοίγοντας τον δρόμο με νέες μεθόδους στη θεωρία αριθμών.

• 19ος αιώνας: Μεγάλες μορφές όπως ο Gauss, η Sophie Germain και ο Kummer προχώρησαν σε ειδικές περιπτώσεις και ανέπτυξαν νέα μαθηματικά εργαλεία.

• 20ός αιώνας: Το θεώρημα έγινε το «Άγιο Δισκοπότηρο» των μαθηματικών — μια πρόκληση που μάγευε και βασάνιζε γενιές μαθηματικών, οι οποίοι ανταγωνίζονταν να το αποδείξουν. Ακόμη και βραβείο 100.000 μαρκίων προσφέρθηκε για την απόδειξη.

Ο Andrew Wiles και η Τελική Λύτρωση

Το 1993, ο Andrew Wiles, καθηγητής στο Princeton, ανακοίνωσε σε ένα συνέδριο στο Cambridge ότι ετοίμαζε την απόδειξη ενός θεωρήματος που συνδέεται με «καμπύλες». Η μαθηματική κοινότητα περίμενε με αγωνία.

Μετά από επτά χρόνια μοναχικής και μυστικής δουλειάς, ο Wiles παρουσίασε μια απόδειξη 200 σελίδων, που βασιζόταν σε προηγμένα μαθηματικά εργαλεία, όπως:

• Αλγεβρική γεωμετρία

• Την εικασία Taniyama-Shimura

• Θεωρία ελλειπτικών καμπυλών

• Modular μορφές

• Galois αναπαραστάσεις

Η απόδειξη του Wiles αποτέλεσε επανάσταση και κλείδωσε το μυστήριο που βασάνιζε τους μαθηματικούς για 350 χρόνια.

Το Μεγάλο Ερώτημα: Tο έλυσε;

Η πολυπλοκότητα και η σύγχρονη φύση της απόδειξης οδήγησαν σε διάφορες θεωρίες για τον Fermat:

• Θεωρία Α - Ο Αθώος: Μάλλον είχε κάνει κάποιο λάθος ή είχε ανακαλύψει μια ατελή απόδειξη.

• Θεωρία Β - Ο Τρολ: Ίσως να μην είχε καθόλου απόδειξη και έγραψε το σημείωμα για να «τρολάρει» τις μελλοντικές γενιές.

• Θεωρία Γ - Ο Μυστικιστής: Μήπως όντως είχε βρει κάποια απλούστερη απόδειξη που εμείς δεν έχουμε ανακαλύψει ακόμα;