🎯 Ποια είναι η Βέλτιστη Κίνηση; Ένα Παιχνίδι Πρόβλεψης με Αναμενόμενο Κέρδος

🧩 Το Παιχνίδι

Φανταστείτε το εξής νοητικό παιχνίδι:

• Ο παίκτης Α επιλέγει έναν τυχαίο ακέραιο αριθμό $j$ μεταξύ 1 και 100.

• Η πιθανότητα να επιλεγεί ο κάθε αριθμός είναι γνωστή και συμβολίζεται με $p_j$​.

  

• Ο παίκτης Β πρέπει να μαντέψει ποιον αριθμό επέλεξε ο παίκτης Α.

• Αν μαντέψει σωστά, παίρνει τόσα δολάρια όσα και ο αριθμός που επιλέχθηκε (δηλαδή $j$ δολάρια).

• Αν κάνει λάθος, δεν κερδίζει τίποτα.

Ο στόχος του παίκτη Β είναι να μεγιστοποιήσει το αναμενόμενο (μέσο) κέρδος του.

---

🧠 Ποια είναι η Βέλτιστη Στρατηγική;

Αν ο παίκτης Β επιλέξει να μαντέψει έναν συγκεκριμένο αριθμό $k$, τότε:

• Με πιθανότητα $p_k$​, θα κερδίσει $k$ δολάρια.

• Άρα, το αναμενόμενο κέρδος είναι:

  ${E} = p_k \cdot k$

Αυτό σημαίνει ότι ο παίκτης Β πρέπει να επιλέξει τον αριθμό k που μεγιστοποιεί το γινόμενο $p_k\cdot k$.

✅ Δηλαδή, η βέλτιστη στρατηγική είναι:

$$\boxed{\text{Διάλεξε το } k \text{ που μεγιστοποιεί το } p_k \cdot k}$$

---

🔢 Παράδειγμα

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε τις εξής πιθανότητες για 3 αριθμούς:

• $p_{20}=0.1$

• $p_{40}=0.05$

• $p_{80}=0.02$

Τότε οι αναμενόμενες αποδόσεις είναι:

• Για το 20: $0$

• Για το 40: $0$

• Για το 80: $0$

Οι πρώτες δύο επιλογές δίνουν το ίδιο αναμενόμενο κέρδος (2.0 δολάρια), άρα είναι εξίσου καλές στρατηγικές.

---

💡 Συμπέρασμα

Αυτό το φαινομενικά απλό παιχνίδι μάς διδάσκει πώς να χρησιμοποιούμε τη λογική των αναμενόμενων τιμών για να λαμβάνουμε βέλτιστες αποφάσεις. Στον πραγματικό κόσμο, τέτοιες στρατηγικές βρίσκουν εφαρμογή σε τομείς όπως τα οικονομικά, η ασφάλιση, οι επενδύσεις, ακόμα και η τεχνητή νοημοσύνη.