🎲 Ένα Παράδοξο από τον Lewis Carroll: Τι Θα Έδινες για να Ρίξεις Ένα Νόμισμα;

«Θα μου έδινες έξι πένες για την πιθανότητα μου; Αυτό, κατέληξε ο Ντότζσον, δείχνει πόσο απέχει η συμπεριφορά μας από το να καθορίζεται από τη λογική».

— Lionel A. Tollemache, Αναμνήσεις του Lewis Carroll, 1898

Ο Lewis Carroll, περισσότερο γνωστός ως ο συγγραφέας της Αλίκης στη Χώρα των Θαυμάτων, ήταν επίσης μαθηματικός, λογικός και λάτρης των παραδόξων. Σε μια συνάντηση με τον Lionel Tollemache, πρότεινε ένα παράξενο παιχνίδι πιθανοτήτων που, όπως αποδείχθηκε, οδηγεί σε… άπειρο κέρδος!

Ας δούμε το παιχνίδι βήμα-βήμα:

---

🧠 Το Παιχνίδι

1. Ρίχνεις ένα νόμισμα μέχρι να φέρεις κορώνα.

2. Αν φέρεις κορώνα στην 1η ρίψη, κερδίζεις 1 πένα.

3. Αν φέρεις κορώνα στην 2η ρίψη, κερδίζεις 2 πένες.

4. Στην 3η ρίψη, αν εμφανιστεί πρώτη φορά κορώνα, παίρνεις 4 πένες.

5. Στην 4η, 8 πένες… και ούτω καθεξής — το κέρδος διπλασιάζεται κάθε φορά.

Δηλαδή, αν η πρώτη κορώνα έρθει στην $n$-οστή ρίψη, παίρνεις $2^{n-1}$πένες.

---

📊 Η Μαθηματική Ανάλυση

• Η πιθανότητα να φέρεις πρώτη φορά κορώνα στην $n$-οστή ρίψη είναι:

  $$P(n)={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$

• Το αναμενόμενο κέρδος για αυτή τη ρίψη είναι:

  $$E(n)=P(n)\cdot 2^{n-1}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cdot 2^{n-1}=\frac{1}{\mathrm{2}}$$

Αν προσθέσουμε όλα τα πιθανά κέρδη:

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }$$

Άρα, η αναμενόμενη αξία του παιχνιδιού είναι… άπειρη!

---

🤔 Μα γιατί δεν δίνουμε περιουσίες για να παίξουμε;

Εδώ είναι το παράδοξο:

• Αν και το παιχνίδι έχει άπειρη μαθηματική αξία, στην πράξη κανείς δεν θα έδινε ούτε 5 ευρώ για να το παίξει.

• Αυτό συμβαίνει γιατί:

  • Οι πιθανότητες να πάρεις μεγάλα ποσά είναι εξαιρετικά μικρές.

  • Το κέρδος τις περισσότερες φορές θα είναι αμελητέο.

---

🧩 Το Παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης

Το πρόβλημα αυτό είχε διατυπωθεί για πρώτη φορά το 1713 από τον Νικόλαο Μπερνούλλι, και έμεινε γνωστό ως το Παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης.

Είναι ένα από τα πρώτα παραδείγματα όπου η μαθηματική έννοια της αναμενόμενης τιμής έρχεται σε σύγκρουση με την ανθρώπινη συμπεριφορά και την κοινή λογική.

---

🧵 Συμπέρασμα του Carroll

Ο Lewis Carroll χρησιμοποίησε το παράδοξο για να δείξει ότι η ανθρώπινη λογική δεν καθορίζεται μόνο από μαθηματικά μοντέλα. Όπως σημείωσε:

«Η αξία μου ήταν άπειρη, κι όμως κανείς δεν θα μου έδινε έξι πένες. Αυτό δείχνει πόσο απέχει η συμπεριφορά μας από τη λογική.»