Ένα μαθηματικό πείραμα με μπάλες… και άπειρη έκπληξη
Φανταστείτε το εξής πείραμα σκέψης:
Έχετε ένα άδειο βάζο και άπειρη προμήθεια από αριθμημένες μπάλες. Ξεκινάτε μια διαδικασία που επαναλαμβάνεται επ’ άπειρον, κάθε φορά πιο γρήγορα, έτσι ώστε να ολοκληρωθεί μέσα σε ένα λεπτό.
Η διαδικασία περιλαμβάνει δύο βήματα που επαναλαμβάνονται συνεχώς:
-
Προσθέτετε 10 μπάλες στο βάζο. Για παράδειγμα, στην πρώτη επανάληψη βάζετε τις μπάλες με αριθμούς 1 έως 10.
-
Αφαιρείτε μία μόνο μπάλα από το βάζο. Ας πούμε, την μπάλα με αριθμό 1.
🔁 Η διαδικασία συνεχίζεται χωρίς τέλος, όλο και πιο γρήγορα, ώστε να έχουν ολοκληρωθεί άπειρα τέτοια βήματα μέσα σε 60 δευτερόλεπτα.
❓Το Παράδοξο Ερώτημα:
Πόσες μπάλες θα περιέχει το βάζο ακριβώς στο τέλος του ενός λεπτού;
🧠 Μια πρώτη σκέψη:
Αν κάθε φορά βάζουμε 10 και αφαιρούμε 1, τότε κάθε βήμα προσθέτει 9 μπάλες στο βάζο. Άρα, μετά από άπειρα βήματα, θα έπρεπε να έχει άπειρες μπάλες, σωστά;
Κι όμως… το πρόβλημα δεν είναι αριθμητικό, αλλά εννοιολογικό. Και εδώ βρίσκεται το παράδοξο.
🔍 Η Μαθηματική Αλήθεια:
Παρατηρούμε ότι κάθε μπάλα που προστίθεται στο βάζο, κάποια στιγμή αφαιρείται. Για παράδειγμα:
-
Η μπάλα 1 αφαιρείται στο πρώτο βήμα.
-
Η μπάλα 2 στο δεύτερο.
-
Η μπάλα 3 στο τρίτο.
-
…
-
Η μπάλα Ν στο Ν-οστό βήμα.
✅ Τελική Απάντηση:
Το βάζο θα είναι κενό στο τέλος του ενός λεπτού!
⚠️ Γιατί είναι Παράδοξο;
Ενώ κάθε βήμα αυξάνει προσωρινά τον αριθμό των μπαλών, τελικά καμία μπάλα δεν επιβιώνει. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τη διαισθητική μας σκέψη περί «άπειρης συσσώρευσης» — και γι’ αυτό το πρόβλημα είναι ένα από τα πιο εντυπωσιακά παράδοξα του απείρου.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου