⚖️ Το Παράδοξο Ross–Littlewood

Ένα μαθηματικό πείραμα με μπάλες… και άπειρη έκπληξη

Φανταστείτε το εξής πείραμα σκέψης:

Έχετε ένα άδειο βάζο και άπειρη προμήθεια από αριθμημένες μπάλες. Ξεκινάτε μια διαδικασία που επαναλαμβάνεται επ’ άπειρον, κάθε φορά πιο γρήγορα, έτσι ώστε να ολοκληρωθεί μέσα σε ένα λεπτό.

Η διαδικασία περιλαμβάνει δύο βήματα που επαναλαμβάνονται συνεχώς:

1. Προσθέτετε 10 μπάλες στο βάζο. Για παράδειγμα, στην πρώτη επανάληψη βάζετε τις μπάλες με αριθμούς 1 έως 10.

2. Αφαιρείτε μία μόνο μπάλα από το βάζο. Ας πούμε, την μπάλα με αριθμό 1.

Στη δεύτερη επανάληψη, προσθέτετε τις μπάλες 11 έως 20 και αφαιρείτε την μπάλα 2.

Στην τρίτη επανάληψη, βάζετε τις μπάλες 21 έως 30 και αφαιρείτε την μπάλα 3.

Και ούτω καθεξής…

🔁 Η διαδικασία συνεχίζεται χωρίς τέλος, όλο και πιο γρήγορα, ώστε να έχουν ολοκληρωθεί άπειρα τέτοια βήματα μέσα σε 60 δευτερόλεπτα.

---

❓Το Παράδοξο Ερώτημα:

Πόσες μπάλες θα περιέχει το βάζο ακριβώς στο τέλος του ενός λεπτού;

---

🧠 Μια πρώτη σκέψη:

Αν κάθε φορά βάζουμε 10 και αφαιρούμε 1, τότε κάθε βήμα προσθέτει 9 μπάλες στο βάζο. Άρα, μετά από άπειρα βήματα, θα έπρεπε να έχει άπειρες μπάλες, σωστά;

Κι όμως… το πρόβλημα δεν είναι αριθμητικό, αλλά εννοιολογικό. Και εδώ βρίσκεται το παράδοξο.

---

🔍 Η Μαθηματική Αλήθεια:

Παρατηρούμε ότι κάθε μπάλα που προστίθεται στο βάζο, κάποια στιγμή αφαιρείται. Για παράδειγμα:

• Η μπάλα 1 αφαιρείται στο πρώτο βήμα.

• Η μπάλα 2 στο δεύτερο.

• Η μπάλα 3 στο τρίτο.

• …

• Η μπάλα Ν στο Ν-οστό βήμα.

👉 Άρα καμία μπάλα δεν μένει μόνιμα μέσα στο βάζο.

Όλες τελικά αφαιρούνται σε κάποιο από τα άπειρα βήματα.

---

✅ Τελική Απάντηση:

Το βάζο θα είναι κενό στο τέλος του ενός λεπτού!

---

⚠️ Γιατί είναι Παράδοξο;

Ενώ κάθε βήμα αυξάνει προσωρινά τον αριθμό των μπαλών, τελικά καμία μπάλα δεν επιβιώνει. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τη διαισθητική μας σκέψη περί «άπειρης συσσώρευσης» — και γι’ αυτό το πρόβλημα είναι ένα από τα πιο εντυπωσιακά παράδοξα του απείρου.