Θεώρημα Routh: Ένα διαμάντι της Γεωμετρίας

Στη γεωμετρία, το Θεώρημα Routh δίνει την αναλογία του εμβαδού ενός τριγώνου προς το εμβαδόν ενός άλλου, μικρότερου τριγώνου που σχηματίζεται από τις τομές τριών ευθειών, καθεμίας από τις οποίες ενώνει μια κορυφή του αρχικού τριγώνου με σημείο στην απέναντι πλευρά.

📐 Διατύπωση του θεωρήματος:

Έστω τρίγωνο $ABC$. Πάνω στις πλευρές του, έστω:

• Σημείο $D$ στην πλευρά $BC$τέτοιο ώστε $\dfrac{CD}{BD} = x$,

• Σημείο $E$ στην πλευρά $CA$ τέτοιο ώστε $\dfrac{AE}{CE} = y$,

• Σημείο $F$ στην πλευρά $AB$ τέτοιο ώστε $\dfrac{BF}{AF} = z$.

Οι ευθείες $AD$, $BE$, και $CF$, που ενώνουν τις κορυφές του τριγώνου $ABC$ με σημεία στις απέναντι πλευρές, τέμνονται μεταξύ τους και σχηματίζουν ένα νέο τρίγωνο στο εσωτερικό του αρχικού.

Τότε, το εμβαδόν $S$ του νέου τριγώνου (που σχηματίζεται από τις τομές των ευθειών που ενώνουν κάθε κορυφή με ένα σημείο στην απέναντι πλευρά) σε σχέση με το αρχικό εμβαδόν $S_{ABC}$, δίνεται από τον τύπο

$$S = S_{ABC} \cdot \frac{(xyz - 1)^2}{(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1)}$$

📌 Ιδιαίτερες περιπτώσεις:

• Αν $x = y = z = 2$, τότε το εμβαδόν του εσωτερικού τριγώνου είναι το ένα έβδομο του $S_{ABC}$. Αυτή είναι η πιο γνωστή περίπτωση του θεωρήματος και εμφανίζεται συχνά ως πρόβλημα σε διαγωνισμούς:

  $$S=\frac{1}{7}{S}_{AB\mathrm{C}}$$

• Αν $x = y = z = 1$, τότε τα σημεία $D, E, F$ είναι τα μέσα των πλευρών, και οι σεβιανές είναι οι διάμεσοι. Σε αυτή την περίπτωση τέμνονται στο βαρύκεντρο του τριγώνου και το εσωτερικό τρίγωνο εκφυλίζεται σε σημείο — το εμβαδόν του είναι μηδέν.

---

📚 Ιστορικό Σημείωμα:

Το θεώρημα δόθηκε από τον Edward John Routh το 1896 στο έργο του Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples. Παρότι συχνά παραγνωρισμένο, αποτελεί ένα διαμάντι της γεωμετρίας.