🟥🟦 Η Κόκκινη και η Μπλε Περιοχή – Μια Απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος από τον William Hazzard

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχει πολλές αποδείξεις, αλλά κάποιες ξεχωρίζουν για την αισθητική τους καθαρότητα. Το 1929, ο Αμερικανός μαθηματικός William Hazzard δημοσίευσε μια γενίκευση μιας ινδικής απόδειξης που αποδίδεται στον Aryabhata (5ος αιώνας). Η απόδειξη αυτή βασίζεται στην ισότητα εμβαδών και στην έξυπνη χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών.

---

🔧 Κατασκευή:

1. Έστω ότι έχουμε δύο παραλληλόγραμμα $ABCD$ και $PNMQ$, τέτοια ώστε σε κάθε πλευρά του παραλληλογράμμου PNMQ να βρίσκεται μία κορυφή του παραλληλογράμμου ABCD.

2. Από το σημείο A, σχεδιάζουμε ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές $MN$ και $QP$, η οποία τέμνει τη πλευρά $QM$ στο σημείο S.

3. Από το σημείο B, σχεδιάζουμε ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές $MQ$ και $NP$, η οποία τέμνει τη πλευρά $PQ$ στο σημείο K.

4. Οι δύο ευθείες AS και BK τέμνονται σε ένα σημείο που το ονομάζουμε Y.

---

📏 Σχέση Εμβαδών:

Αποδεικνύεται ότι:

$${\mathbf{\text{Εμβαδόν}}}_{ABCD}={\mathbf{\text{Εμβαδόν}}}_{AYKP}+{\mathbf{\text{Εμβαδόν}}}_{BYS\mathrm{M}}$$

Η κόκκινη περιοχή και οι μπλε περιοχές έχουν ίσο εμβαδόν και καλύπτουν από κοινού το $ABCD$.

---

📐 Όταν τα παραλληλόγραμμα είναι τετράγωνα:

Εάν το ABCD και το PNMQ είναι τετράγωνα, τότε η παραπάνω κατασκευή οδηγεί άμεσα στο Πυθαγόρειο Θεώρημα, δηλαδή:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Το τετράγωνο που κατασκευάζεται πάνω στην υποτείνουσα ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων που κατασκευάζονται πάνω στις κάθετες πλευρές.