142857: Ένας Κυκλικός Αριθμός με Απίστευτες Ιδιότητες

Γνωρίζατε ότι ο αριθμός 142857 είναι κάτι πολύ περισσότερο από μια απλή ακολουθία ψηφίων; Πρόκειται για έναν κυκλικό αριθμό — έναν αριθμό που, όταν τον πολλαπλασιάσεις με έναν ακέραιο από το 1 ως το 6, δίνει πάντα αναδιάταξη των ίδιων ψηφίων!

Ας το δούμε στην πράξη:

$$ \begin{aligned} 142{,}857 \times 1 &= 142{,}857 \\ 142{,}857 \times 2 &= 285{,}714 \\ 142{,}857 \times 3 &= 428{,}571 \\ 142{,}857 \times 4 &= 571{,}428 \\ 142{,}857 \times 5 &= 714{,}285 \\ 142{,}857 \times 6 &= 857{,}142 \end{aligned} $$

Όλα τα παραπάνω αποτελέσματα είναι κυκλικές μετατοπίσεις του ίδιου αριθμού: οι ψηφιοι παραμένουν οι ίδιοι, απλώς αλλάζουν θέση!

Ένας τέτοιος αριθμός ονομάζεται κυκλικός (cyclic number). Και το 142857 είναι ίσως το πιο διάσημο παράδειγμα.

Πού αλλού εμφανίζεται;

Αν υπολογίσετε το κλάσμα:

$$ \frac{1}{7} = 0.\overline{142857} $$

Θα δείτε ότι το περιοδικό μέρος είναι ακριβώς αυτός ο αριθμός! Και το ίδιο συμβαίνει για όλα τα:

$$ \frac{2}{7},\quad \frac{3}{7},\quad \ldots,\quad \frac{6}{7} $$

Πρόκληση:

• ❓ Μπορείτε να βρείτε άλλους κυκλικούς αριθμούς;
• ❓ Γιατί πιστεύετε ότι συμβαίνει αυτό με το 7;