Το Παζλ του Πλαστού Νομίσματος – Δύο Κλασικές Προκλήσεις Λογικής

Η ζυγαριά διπλού δίσκου δεν είναι απλώς ένα εργαλείο μέτρησης που χρησιμοποιείται εδώ και χιλιετίες· αποτελεί σύμβολο ισορροπίας, ισότητας και δικαιοσύνης. Στα ψυχαγωγικά μαθηματικά, όμως, η ίδια αυτή ζυγαριά πρωταγωνιστεί σε γρίφους που δοκιμάζουν τα όρια της λογικής και της αναλυτικής σκέψης. 

Ένα από τα πιο γνωστά είδη τέτοιων προβλημάτων είναι ο εντοπισμός πλαστών νομισμάτων – κερμάτων που, ενώ μοιάζουν ολόιδια, έχουν διαφορετικό βάρος.

Στη συνέχεια παρουσιάζονται δύο κλασικά παζλ, μαζί με τις στρατηγικές επίλυσής τους, που αναδεικνύουν πώς η σωστή μεθοδολογία μπορεί να οδηγήσει σε βέβαιη αναγνώριση του πλαστού νομίσματος με ελάχιστες ζυγίσεις.

---

1ο Παζλ – Ένα ελαφρύτερο νόμισμα ανάμεσα σε οκτώ

• Διαθέτουμε 8 ίδια νομίσματα, εκ των οποίων το ένα είναι ψεύτικο και ζυγίζει λιγότερο.

• Στόχος: Να βρεθεί το ψεύτικο σε μόλις 2 ζυγίσεις.

Λύση – Στρατηγική:

1. Ζυγίζουμε 3 νομίσματα έναντι 3 άλλων.

   • Αν η ζυγαριά ισορροπήσει, το ψεύτικο βρίσκεται στα 2 υπόλοιπα.

   • Αν γείρει, το ψεύτικο είναι στα 3 της ελαφρύτερης πλευράς.

2. Στη δεύτερη ζύγιση, συγκρίνουμε 2 από τα ύποπτα μεταξύ τους.

   • Αν ισορροπήσουν, το ψεύτικο είναι το τρίτο.

   • Αν γείρει η ζυγαριά, βρίσκουμε αμέσως το ελαφρύτερο.

Με αυτή τη λογική, η ίδια μέθοδος ισχύει και για 9 νομίσματα. Γενικά, με x ζυγίσεις μπορούμε να εξετάσουμε μέχρι και 3ˣ νομίσματα.

---

2ο Παζλ – Αγνώστως βαρύτερο ή ελαφρύτερο νόμισμα ανάμεσα σε δώδεκα

• Διαθέτουμε 12 ίδια νομίσματα, εκ των οποίων το ένα είναι ψεύτικο, αλλά δεν γνωρίζουμε αν είναι βαρύτερο ή ελαφρύτερο.

• Στόχος: Να βρεθεί το ψεύτικο και να διαπιστωθεί αν είναι βαρύτερο ή ελαφρύτερο σε μόλις 3 ζυγίσεις.

Λύση – Στρατηγική:

1. Ζυγίζουμε 4 νομίσματα έναντι άλλων 4.

   • Αν ισορροπήσουν, το ψεύτικο βρίσκεται στα 4 υπόλοιπα.

   • Αν γείρει, το ψεύτικο είναι σε μία από τις δύο τετράδες που ζυγίστηκαν.

2. Με κατάλληλο συνδυασμό 3 εναντίον 3, μπορούμε να περιορίσουμε τα ύποπτα σε 2 ή 3 νομίσματα και να μάθουμε αν είναι βαρύτερο ή ελαφρύτερο.

3. Στην τρίτη ζύγιση, συγκρίνουμε απευθείας για να εντοπίσουμε το κίβδηλο.

---

Μαθηματική Παρατήρηση:

Κάθε ζύγιση δίνει τρεις δυνατές καταστάσεις:

• Η αριστερή πλευρά είναι βαρύτερη.

• Η δεξιά πλευρά είναι βαρύτερη.

• Οι δύο πλευρές ισορροπούν.

Άρα, με μία ζύγιση μπορούμε να διακρίνουμε 3 περιπτώσεις, με δύο ζυγίσεις 3² = 9 περιπτώσεις, και με τρεις ζυγίσεις 3³ = 27 περιπτώσεις. Αυτό εξηγεί γιατί το δεύτερο πρόβλημα είναι ακριβώς οριακό για τις 3 ζυγίσεις.