Άθροισμα ακέραιων μερών – πότε είναι πάντα πολλαπλάσιο του

 Να βρεθούν όλα τα πραγματικά α ώστε, για κάθε θετικό ακέραιο n, ο αριθμός

$$\lfloor \alpha \rfloor +\lfloor 2\alpha \rfloor +\cdots +\lfloor n\alpha \rfloor$$

να είναι πολλαπλάσιο του $n$.

Σημείωση: $\lfloor z \rfloor$ δηλώνει το μεγαλύτερο ακέραιο που είναι $\le z$. Για παράδειγμα, $\lfloor -\pi \rfloor=-4$ και $\lfloor 2.9 \rfloor=2$. 

IMO 2024