Κανονικό οκτάγωνο & κάθετες ημιευθείες από τα μέσα πλευρών

Στο κανονικό οκτάγωνο $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, έστω $M_1,M_3,M_5,M_7$ τα μέσα των πλευρών $\overline{A_1A_2},\overline{A_3A_4},\overline{A_5A_6},\overline{A_7A_8}$, αντίστοιχα. Για $i=1,3,5,7$ κατασκευάζουμε από το $M_i$ προς το εσωτερικό του οκταγώνου τις ημιευθείες $R_i$ έτσι ώστε $R_1\perp R_3$, $R_3\perp R_5$, $R_5\perp R_7$ και $R_7\perp R_1$

​. 

Τα ζεύγη $R_1$–$R_3$, $R_3$–$R_5$, $R_5$–$R_7$, $R_7$–$R_1$ τέμνονται στα σημεία $B_1,B_3,B_5,B_7$ αντίστοιχα. Αν $B_1B_3=A_1A_2$, τότε το $\cos\bigl(2\angle A_3M_3B_1\bigr)$ γράφεται στη μορφή $m-\sqrt{n}$ με $m,n\in\mathbb{Z}_{>0}$. Να βρείτε το άθροισμα $m+n$.