📐 Το Θεώρημα του Ύψους Ορθογωνίου Τριγώνου μέσω Γεωμετρικής Αναδιάταξης

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο, όπου το ύψος \( h \) από την κορυφή της ορθής γωνίας προς την υποτείνουσα τη διαιρεί σε δύο τμήματα μήκους \( p \) και \( q \).

Αν «κόψουμε» (αποσυνθέσουμε) το τρίγωνο κατά μήκος του ύψους \( h \), προκύπτουν δύο μικρότερα ορθογώνια τρίγωνα που είναι όμοια με το αρχικό.

Αυτά τα δύο τρίγωνα μπορούν να ανασυντεθούν με δύο διαφορετικούς τρόπους ώστε να σχηματίσουν ένα νέο ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές μήκους \( p + h \) και \( q + h \).

Στην πρώτη διάταξη, απαιτείται η προσθήκη ενός τετραγώνου εμβαδού \( h^2 \) για να ολοκληρωθεί η νέα μορφή. Στη δεύτερη, απαιτείται η προσθήκη ενός ορθογωνίου εμβαδού \( pq \).

Εφόσον και οι δύο συνθέσεις καταλήγουν στο ίδιο τρίγωνο, τα δύο πρόσθετα εμβαδά πρέπει να είναι ίσα. Δηλαδή:

\[ h^2 = pq \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{pq} \]

Με αυτόν τον γεωμετρικό συλλογισμό αποδεικνύεται το θεώρημα του ύψους: 

Το ύψος από την ορθή γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου προς την υποτείνουσα είναι το γεωμετρικό μέσο των δύο τμημάτων στα οποία χωρίζεται η υποτείνουσα.