Σχέδιο Μαθήματος: Άρρητοι Αριθμοί – Πραγματικοί Αριθμοί (Άλγεβρα Β’ Γυμνασίου)

Τάξη: Β’ Γυμνασίου

Μάθημα: Άλγεβρα

Διάρκεια: 45 λεπτά

Ημερομηνία: ___________

Στόχοι Μάθησης

Γενικός Στόχος

Οι μαθητές να γνωρίσουν τους άρρητους αριθμούς, να κατανοήσουν τη διαφορά τους από τους ρητούς και να σχηματίσουν την έννοια του συνόλου των πραγματικών αριθμών.

Ειδικοί Στόχοι

• Αναγνωρίζουν άρρητους αριθμούς (π.χ. √2, π).
• Διακρίνουν ρητούς από άρρητους αριθμούς.
• Κατανοούν ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από ρητούς και άρρητους.
• Αναπαριστούν ρητούς και άρρητους στην αριθμογραμμή.

Προαπαιτούμενες Γνώσεις

• Ρητοί αριθμοί και βασικές ιδιότητές τους.
• Τετραγωνική ρίζα και δύναμη δεύτερου βαθμού.
• Τοποθέτηση αριθμών στην αριθμογραμμή.

Διδακτικά Μέσα και Υλικά

• Πίνακας / διαδραστικός πίνακας
• Φύλλα εργασίας με παραδείγματα και αριθμογραμμές
• Χάρακας και μολύβι για αναπαράσταση ριζών
• Κομπιουτεράκι (προαιρετικά)

Αναλυτική Πορεία Μαθήματος

1) Εισαγωγή – Κίνητρο (5’)

Ερώτηση: «Υπάρχει δεκαδικός αριθμός με περιοδικό ή πεπερασμένο δεκαδικό ανάπτυγμα που το τετράγωνό του να είναι 2;»

Παρατήρηση: √2 = 1,4142… (ούτε τελειώνει ούτε επαναλαμβάνεται) → Άρρητος.

Σύνδεση: «Σήμερα θα γνωρίσουμε τους άρρητους αριθμούς και θα ολοκληρώσουμε την εικόνα του συνόλου των πραγματικών αριθμών.»

2) Κύρια Διδασκαλία (25’)

Φάση 1: Ανακάλυψη Άρρητων Αριθμών (10’)

Παρουσιάζουμε παραδείγματα: √2, √3, π, e. Δείχνουμε ότι δεν έχουν πεπερασμένη ή περιοδική δεκαδική ανάπτυξη.

• Στον πίνακα: √2 = 1,4142… (μη περιοδικός), π = 3,14159… (μη περιοδικός).

Δραστηριότητα: Χαρακτήρισε κάθε αριθμό ως ρητό ή άρρητο.

• 7/4 → ρητός
• √16 → ρητός (4)
• √5 → άρρητος
• 0,3333… → ρητός (1/3)

Υπενθύμιση: Ρητοί είναι όσοι γράφονται ως κλάσμα ακεραίων (με παρονομαστή ≠ 0). Άρρητοι δεν γράφονται ως τέτοιο κλάσμα και έχουν μη περιοδικό, μη πεπερασμένο δεκαδικό ανάπτυγμα.

Φάση 2: Οι Πραγματικοί Αριθμοί (10’)

Ορίζουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών ℝ. Σχέσεις υποσυνόλων:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ και (ℝ \ ℚ) = {όλοι οι άρρητοι}.

• Σχεδιάζουμε διάγραμμα Venn στον πίνακα.
• Στην αριθμογραμμή σημειώνουμε 1, 2, 3, 4 και κατασκευάζουμε την απόσταση √2:
  σε τετράγωνο πλευράς 1, η διαγώνιος έχει μήκος √2 (Πυθαγόρειο: 1²+1²=2).

Φάση 3: Εφαρμογή και Διερεύνηση (5’)

Ποιοι από τους παρακάτω είναι άρρητοι; 4,5 — √7 — −2/3 — π — √9

Απάντηση: √7, π

3) Εμπέδωση – Αξιολόγηση (10’)

1. Γράψε 3 παραδείγματα άρρητων αριθμών.
2. Κατάταξε στους σωστούς τύπους: 0, √3, −7/2, 2,5, π.
3. Τοποθέτησε τον αριθμό √5 στην αριθμογραμμή (υπόδειξη: τρίγωνο με κάθετες πλευρές 1 και 2 → υποτείνουσα √5).

4) Κλείσιμο – Ανακεφαλαίωση (5’)

• Τι είναι άρρητος αριθμός;
• Ποια είναι η διαφορά ρητών και άρρητων;
• Πώς σχηματίζεται το σύνολο των πραγματικών αριθμών;

Exit Ticket: Κάθε μαθητής γράφει έναν ρητό και έναν άρρητο αριθμό.

Διαφοροποίηση

• Μαθητές που δυσκολεύονται: Ασκήσεις με τετραγωνικές ρίζες τέλειων τετραγώνων για ευκολότερο διαχωρισμό.
• Προχωρημένοι μαθητές: Διερεύνηση για √2 + √3, π², ή προσεγγίσεις δεκαδικών με κομπιουτεράκι.

Αξιολόγηση

• Συμμετοχή στη συζήτηση και στις δραστηριότητες αναγνώρισης.
• Ορθή κατάταξη αριθμών και σωστή αναπαράσταση στην αριθμογραμμή.
• Έλεγχος του Exit Ticket στο τέλος.

Εργασία για το Σπίτι

1. Βιβλίο: Ασκήσεις σελίδας ___, 1–6.
2. Βρες 3 καθημερινά παραδείγματα με άρρητους αριθμούς (π.χ. διαγώνιος τετραγώνου, μήκος κύκλου/περίμετρος).

---

Σημείωση: Το κείμενο είναι σε πλήρη στοίχιση (justify). Προσαρμόστε τα κενά/σελίδες βιβλίου όπου χρειάζεται.