Ανισότητα γινομένου και εκθετικής ανάπτυξης

Έστω $x_1, x_2, \dots, x_n$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί και

$$S=x_1+x_2+\cdots +x_n\mathrm{.}$$

Να αποδείξετε ότι:

$$(1+x_1)(1+x_2)\cdots (1+x_n)\le 1+S+\frac{S^2}{2!}+\frac{S^3}{3!}+\cdots +\frac{S^n}{n!}\mathrm{.}$$

1989 APMO