Το παράδοξο των κατοίκων με το κόκκινο σημάδι

Σε ένα απομονωμένο χωριό ζουν 100 κάτοικοι. Ισχύει αυστηρός κανόνας: όποιος κάτοικος ανακαλύψει ότι έχει κόκκινο σημάδι στο μέτωπο οφείλει να αποσυρθεί για 24 ώρες σε απομόνωση και κατόπιν να εγκαταλείψει οριστικά το χωριό.

Οι κάτοικοι βλέπουν καθαρά όλους τους άλλους, αλλά δεν έχουν καθρέφτες/ανακλαστικές επιφάνειες και απαγορεύεται κάθε αναφορά στα σημάδια. Επιτρέπεται μόνο σιωπηλή παρατήρηση στις καθημερινές συναθροίσεις.

Μια μέρα, ένας σοφός γέροντας ανακοινώνει δημοσίως: «Τουλάχιστον ένας από εσάς έχει κόκκινο σημάδι». Οι συναθροίσεις συνεχίζονται κανονικά και όλοι σκέφτονται σιωπηλά.

Ερώτημα:
Θα αποχωρήσουν τελικά οι κάτοικοι με κόκκινο σημάδι; Αν ναι, πότε θα συμβεί αυτό συναρτήσει του πλήθους $R$ των σημαδεμένων (και ειδικά για $R=100$);