Ανισότητα του Chebyshev: Ορισμός, Απόδειξη, Παραδείγματα και Εφαρμογές

Η (διακριτή) ανισότητα του Chebyshev συνδέει δύο διατεταγμένες ακολουθίες πραγματικών αριθμών και συγκρίνει το γινόμενο των μέσων όρων τους με τον μέσο όρο των αντίστοιχων γινομένων.

Διατύπωση

Έστω \(n\in\mathbb{N}\) και δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών \(x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n\) και \(y_1, y_2, \dots, y_n\).

Ίδια μονοτονία

Αν \(y_1 \le y_2 \le \cdots \le y_n\), τότε

\[ \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\cdot \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n} \;\le\; \frac{x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n}{n}. \]

Αντίθετη μονοτονία

Αν \(y_1 \ge y_2 \ge \cdots \ge y_n\), τότε

\[ \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\cdot \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n} \;\ge\; \frac{x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_ny_n}{n}. \]

Συνθήκες ισότητας

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:

• είτε \(x_1 = x_2 = \cdots = x_n\),
• είτε \(y_1 = y_2 = \cdots = y_n\).

Σύντομη απόδειξη (με Ανισότητα Αναδιατάξεων)

Ξεκινάμε από το γινόμενο των αθροισμάτων:

\[ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\!\left(\sum_{i=1}^n y_i\right) \;=\; \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i y_j. \]

Ομαδοποιούμε το διπλό άθροισμα σε \(n\) ομάδες που αντιστοιχούν σε κυκλικές μετατοπίσεις των δεικτών των \(y\):

\[ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i y_j \;=\; \sum_{k=1}^n \bigl(x_1 y_k + x_2 y_{k+1} + \cdots + x_n y_{k-1}\bigr), \]

με δείκτες \(y\) υπολογισμένους modulo \(n\). Αν οι \(x_i\) και οι \(y_i\) έχουν ίδια μονοτονία, η ανισότητα αναδιατάξεων δίνει, για κάθε \(k\),

\[ x_1 y_k + x_2 y_{k+1} + \cdots + x_n y_{k-1} \;\le\; x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n. \]

Αθροίζοντας για \(k=1,\dots,n\), προκύπτει

\[ \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\!\left(\sum_{i=1}^n y_i\right) \;\le\; n \sum_{i=1}^n x_i y_i, \]

και διαιρώντας με \(n^2\) καταλήγουμε στην επιθυμητή ανισότητα. Για αντίθετη μονοτονία, η φορά αντιστρέφεται.

Παράδειγμα (ίδια μονοτονία)

Έστω \(x=(1,3,5)\) και \(y=(2,4,6)\). Τότε \(\frac{1+3+5}{3}=3\), \(\frac{2+4+6}{3}=4\), άρα \( \frac{\sum x_i}{3}\cdot \frac{\sum y_i}{3}=12\). Επίσης \(\frac{1\cdot2 + 3\cdot4 + 5\cdot6}{3}=\frac{2+12+30}{3}=14\). Ισχύει \(12 \le 14\), όπως προβλέπει η ανισότητα.

Σχόλια

• Η ανισότητα του Chebyshev είναι χρήσιμη στη θεωρία ανισοτήτων, στη στατιστική και στην πιθανοθεωρία.
• Μπορεί να ιδωθεί ως εφαρμογή της ανισότητας αναδιατάξεων.
• Η συνεχής εκδοχή αντικαθιστά τα αθροίσματα με ολοκληρώματα σε κατάλληλα διαστήματα.

---

Λέξεις-κλειδιά: Chebyshev, ανισότητα αναδιατάξεων, διατεταγμένες ακολουθίες, μέσος όρος, μέσο γινομένου.