Καταδίωξη Υποβρυχίων και Πίνακες Costas

Το 1965, ο ερευνητής Τζον Κώστας (John Costas), εργαζόμενος σε τεχνολογίες υποβρυχίου πολέμου, ανέπτυξε μια πρωτοποριακή ιδέα για τη βελτίωση της ανίχνευσης και παρακολούθησης υποβρυχίων. Το αποτέλεσμα ήταν οι λεγόμενοι πίνακες Costas — μαθηματικές δομές με εντυπωσιακές εφαρμογές στην κωδικοποίηση σημάτων και στη βελτιστοποίηση συστοιχιών ραντάρ και σόναρ.

Πέρα όμως από την πρακτική τους αξία, οι πίνακες Costas κρύβουν ένα άλυτο μαθηματικό μυστήριο:

Υπάρχει άραγε πίνακας Costas για κάθε τετράγωνο $n \times n$ ;

Η απάντηση παραμένει άγνωστη. Μέχρι σήμερα, γνωρίζουμε λύσεις για πολλές τιμές του $n$

$n$, όμως το μικρότερο μέγεθος για το οποίο δεν γνωρίζουμε αν υπάρχει τέτοιος πίνακας είναι το 32×32.

Οι πίνακες Costas αποτελούν ένα συναρπαστικό σημείο συνάντησης ανάμεσα στη μαθηματική θεωρία και στις πραγματικές εφαρμογές. Ξεκίνησαν ως εργαλείο για την καταδίωξη υποβρυχίων, αλλά σήμερα εμπνέουν έρευνες σε τομείς όπως η κρυπτογραφία, η επεξεργασία σήματος και η πληροφορική.