Hilbert’s Hote: Το Ξενοδοχείο που Δεν Γεμίζει Ποτέ

 Ένα μαθηματικό παράδοξο που μπερδεύει τη λογική

Φαντάσου ότι ταξιδεύεις κουρασμένος και βλέπεις μπροστά σου ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια: 1, 2, 3, …

Όμως η ρεσεψιόν σου λέει:

«Όλα είναι κατειλημμένα!»

Κανονικά θα έφευγες. Αλλά αυτό δεν είναι ένα συνηθισμένο ξενοδοχείο. Είναι το Hilbert’s Hotel, το ξενοδοχείο που ποτέ δεν λέει «Δεν έχουμε δωμάτια».

---

Το πρώτο κόλπο

Ένας μόνο νέος επισκέπτης;

Η λύση είναι απλή: ο καθένας μετακινείται στο επόμενο δωμάτιο. Το δωμάτιο 1 αδειάζει.

---

Το δεύτερο κόλπο

Άπειροι νέοι επισκέπτες;

Τότε κάθε επισκέπτης μετακινείται στο διπλάσιο νούμερο δωματίου.

Ξαφνικά, όλα τα περιττά δωμάτια μένουν κενά και χωράνε… άπειρους νέους επισκέπτες.

---

Η απόλυτη δοκιμασία

Άπειρα λεωφορεία φτάνουν, γεμάτα με άπειρους επιβάτες.
Ο διευθυντής χαμογελά:

• Ο επιβάτης στη θέση $n$ του λεωφορείου $m$ μπαίνει στο δωμάτιο $2^m \cdot 3^n$.
  Χάρη στη μοναδική παραγοντοποίηση σε πρώτους, κανείς δεν μπερδεύεται!

---

Αυτό είναι το παράδοξο του Hilbert, μια ιστορία που δείχνει πώς το άπειρο αψηφά τη διαίσθησή μας.