Ο αριθμός του Liouville, γνωστός και ως Liouville’s constant, είναι ένας από τους πρώτους αριθμούς που κατασκευάστηκαν ρητά για να αποδειχθεί ότι είναι υπερβατικός (δεν είναι ρίζα καμίας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές).
.jpg)
Ορισμός
Ο αριθμός του Liouville ορίζεται ως το άθροισμα:
\[ L = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{10^{k!}} = \frac{1}{10^1} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^6} + \frac{1}{10^{24}} + \cdots \]
Δηλαδή, στο δεκαδικό του ανάπτυγμα, εμφανίζονται μονάδες στις θέσεις \(1!\), \(2!\), \(3!\), \(4!\), … μετά την υποδιαστολή, ενώ όλες οι άλλες θέσεις έχουν μηδενικά:
\[ L = 0.110001000000000000000001\ldots \]
Γιατί είναι τόσο σημαντικός;
Ο αριθμός αυτός κατασκευάστηκε από τον Joseph Liouville το 1844 για να δείξει ότι:
- Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί που δεν είναι αλγεβρικοί
- Οι αλγεβρικοί αριθμοί δεν μπορούν να προσεγγιστούν υπερβολικά καλά από ρητούς
Αντίθετα, ο \(L\) μπορεί να προσεγγιστεί εξαιρετικά καλά από ρητούς αριθμούς. Συγκεκριμένα, για κάθε θετικό ακέραιο \(n\), υπάρχει ρητός αριθμός \(\frac{p}{q}\) τέτοιος ώστε:
\[ 0 < \left|L - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^n} \]
Αυτή η ιδιότητα παραβιάζει το όριο που ισχύει για τους αλγεβρικούς αριθμούς (βάσει θεωρημάτων του Liouville), και συνεπώς αποδεικνύει ότι ο \(L\) είναι υπερβατικός.
Χαρακτηριστικά
- Liouville αριθμός: Ορισμός κλάσης αριθμών με «υπερβολικά καλές» προσεγγίσεις
- Υπερβατικός: Δεν είναι λύση καμίας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές
- Αραιή δεκαδική ανάπτυξη: Μηδενικά παντού, εκτός από τις θέσεις \(k!\)
Μερικά επιπλέον μαθηματικά
Η γενική μορφή οποιουδήποτε αριθμού Liouville είναι τέτοια ώστε για κάθε \(n \in \mathbb{N}\), να υπάρχει ρητός \(\frac{p}{q}\) με:
\[ 0 < \left|x - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^n} \]
Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί \(x\), και μάλιστα είναι αδιαμέτρητοι και πυκνοί στο \(\mathbb{R}\), αλλά έχουν μέτρο Lebesgue ίσο με μηδέν.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου