Η Σειρά του Mercator και οι Φυσικοί Λογάριθμοι

Κατά τον 17ο αιώνα, η ραγδαία ανάπτυξη της ανάλυσης και των λογαρίθμων οδήγησε σε μια σειρά από σπουδαίες ανακαλύψεις. Σε αυτήν την εποχή ανήκει και ο Nicolas Mercator (1620–1687), Γερμανός μαθηματικός που έζησε και εργάστηκε στην Αγγλία. 

Το 1668 δημοσίευσε το έργο του Logarithmotechnia, ένα βιβλίο που αρχικά επικεντρώνεται στην κατασκευή πινάκων λογαρίθμων, όμως στο τρίτο του μέρος παρουσιάζει ένα αποτέλεσμα που θα μείνει στην ιστορία των μαθηματικών: τη σειρά του Mercator για τον φυσικό λογάριθμο.

Ο Mercator ανακάλυψε την ανάπτυξη σε άπειρη σειρά του λογαρίθμου:

$$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots ,$$

μια σχέση που, όπως γνωρίζουμε σήμερα, ισχύει για $-1<x\le 1$. Η σειρά αυτή ήταν ήδη γνωστή στον Isaac Newton, αλλά ο Mercator υπήρξε ο πρώτος που τη δημοσίευσε σε συστηματική μορφή.

Αρχικά, ο Mercator εξέτασε τη γεωμετρική σειρά:

$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$$

και στη συνέχεια μελέτησε το εμβαδόν του υπερβολικού τμήματος πάνω από το διάστημα [0,x]. Η μέθοδός του στηριζόταν στην τεχνική των αδιαιρέτων του Cavalieri, μια πρώιμη μορφή ολοκληρωτικού λογισμού.

Αν και κάποιοι ισχυρίστηκαν ότι ο Mercator προέκυψε τη σειρά του λογαρίθμου απλώς ολοκληρώνοντας όρο-προς-όρο τη γεωμετρική σειρά, αυτό δεν είναι ακριβές. Ο ίδιος δεν περιγράφει λεπτομερώς τα βήματα, αλλά σύμφωνα με τον John Wallis, που δημοσίευσε ανάλυση στο Philosophical Transactions το 1668, η μέθοδος του Mercator ήταν αυστηρά γεωμετρική και πρωτότυπη για την εποχή.

Η σειρά του Mercator υπήρξε θεμέλιο για την ανάπτυξη της ανάλυσης και του λογαριθμικού υπολογισμού, ανοίγοντας τον δρόμο για την ευρύτερη χρήση των λογαρίθμων και των άπειρων σειρών στα Μαθηματικά του 17ου αιώνα.