Άθροισμα Minkowski (Minkowski addition)

Ορισμός

Για σύνολα \(A,B\subseteq \mathbb{R}^n\), το άθροισμα Minkowski ορίζεται ως

\[ A \oplus B=\{\,a+b:\ a\in A,\ b\in B\,\}. \]

Για \(t\ge 0\), η ομοιόμορφη κλιμάκωση είναι

\[ tA=\{\,ta:\ a\in A\,\}. \]

Οπτική ερμηνεία: Το κόκκινο σύνολο είναι το \(A\oplus B=\{a+b: a\in A,\, b\in B\}\).

Βασικές ιδιότητες

• Αντιμεταθετικότητα: \(A\oplus B=B\oplus A\).
• Προσεταιριστικότητα: \((A\oplus B)\oplus C=A\oplus(B\oplus C)\).
• Μοναδιαίο: \(A\oplus\{0\}=A\).
• Μετατοπίσεις: \((A+x)\oplus B=(A\oplus B)+x\).
• Ομογένεια: \(t(A\oplus B)=tA\oplus tB\) για \(t\ge0\).
• Διανομή επί ένωσης: \(A\oplus(B\cup C)=(A\oplus B)\cup(A\oplus C)\).
• Κυρτότητα: αν \(A,B\) είναι κυρτά, τότε και \(A\oplus B\) είναι κυρτό.
• Στηρικτικές συναρτήσεις: \(h_{A\oplus B}=h_A+h_B\).
• Brunn–Minkowski (όγκος): \(\mathrm{vol}(A\oplus B)^{1/n}\ge \mathrm{vol}(A)^{1/n}+\mathrm{vol}(B)^{1/n}\).

Παραδείγματα

• Διαστήματα: \([a,b]\oplus[c,d]=[a+c,\ b+d]\).
• Δίσκοι/σφαίρες: \(D_r\oplus D_s=D_{r+s}\) (οι ακτίνες αθροίζονται).
• Πολύγωνο ⊕ δίσκος: «στρογγυλεμένο» περίγραμμα (offset/dilation).
• Ρομποτική κίνηση: χώρος εμποδίων \(O\oplus(-R)\).