Θεώρημα Stewart

 Σε τρίγωνο ABC, έστω μια σεβιανή AD που τέμνει τη βάση BC στο D. Θέτουμε

$$BC=a,CA=b,AB=c,BD=m,DC=n(a=m+n),AD=d\mathrm{.}$$

Διατύπωση.

$$\boxed{{\displaystyle b^{2}m+c^{2}n=a(d^2+mn)\hspace{0.17em}}}$$

Μνημονικό: “man + dad = bmb + cnc” (με $m,a,n$, $d$, $b$, $c$).

---

Χρήσιμα πορίσματα

• Διάμεσος ($m=n=\tfrac a2$, $d=m_a$):

  $$b^2+c^2=2\text{\hspace{0.17em}⁣}(m_a^2+\frac{a^2}{4})$$

• $m:n=c:b$):

  $$d^2=bc\text{\hspace{0.17em}⁣}(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2})\mathrm{.}$$

• Ύψος από $A$ (με $d=h_a$):

  $$h_a^2=\frac{b^{2}m+c^{2}n}{a}-mn\mathrm{.}$$

---

Σύντομη απόδειξη (συντεταγμένες)

Αν θέσουμε $B(0,0)$, $C(a,0)$, $D(m,0)$ και $A(x,y)$. Τότε

$$c^2=x^2+y^2,b^2=(x-a{)}^2+y^2,d^2=(x-m{)}^2+y^2\mathrm{.}$$

Υπολόγισε $b^{2}m+c^{2}n$ και $a(d^{2}+mn)$· και οι δύο εκφράσεις ανάγονται στο

$$m(x-a{)}^2+n{x}^2+a{y}^2+amn,$$

άρα είναι ίσες.