Ο Τύπος Wallis: Ένα Άπειρο Γινόμενο για το π

Ο Τύπος Wallis ή Wallis Product είναι ένας διάσημος άπειρος πολλαπλασιασμός που δίνει μια αναπαράσταση του αριθμού π. Διατυπώθηκε από τον Άγγλο μαθηματικό John Wallis το 1655 και είναι ο εξής:

$$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-\mathrm{1}}$$

ή, αναλυτικά:

$$\frac{\pi }{2}=\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot \frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdot \frac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\cdot \frac{8\cdot 8}{7\cdot 9}\cdot \dots$$

Ιστορικό

Ο Wallis δημοσίευσε τον τύπο αυτό στο βιβλίο του "Arithmetica Infinitorum" το 1655. Αποτελεί ένα από τα πρώτα παραδείγματα όπου το $\pi$ εκφράζεται μέσω ενός άπειρου γινομένου αντί για άπειρο άθροισμα, κάτι που ήταν πολύ καινοτόμο για την εποχή.

---

Ιδέα της απόδειξης

Η πιο κλασική απόδειξη προκύπτει από τον τύπο του Euler για το $\sin x$:

$$\frac{\sin x}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2{\pi }^2})$$

Αν βάλουμε $x = \frac{\pi}{2}$, παίρνουμε τον τύπο του Wallis.

---

Σημασία

Ο τύπος Wallis έπαιξε τεράστιο ρόλο:

• Στη σύνδεση του $\pi$ με απειροστικούς λογισμούς.

• Στην ανάπτυξη της θεωρίας των απείρων γινομένων.

• Στην ιστορία των αναπαραστάσεων του $\pi$ πριν την εποχή του Euler.