Πολλαπλασιασμός μέσα στο «τετράγωνο» ∣x∣+∣y∣≤1

Στο μιγαδικό επίπεδο θεωρούμε το τετράγωνο με κορυφές $1,i,-1,-i$. Αυτό είναι το σύνολο

$$S=\{x+iy:\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\le 1\}\mathrm{.}$$

Να δειχθεί ότι αν $u,v\in S$, τότε και το γινόμενο $uv$ ανήκει στο $S$.

Απόδειξη 

Έστω 

$$u=x+iy,v=a+ib,$$

με $|x|+|y|\le 1$ και $|a|+|b|\le 1$.

Τότε

$$uv=(xa-yb)+i(xb+ya)\mathrm{.}$$

Χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα,

$$\mathrm{\mid }xa-yb\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }xb+ya\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Άρα

$$\mathrm{\mid }\mathrm{\Re }(uv)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\mathrm{\Im }(uv)\mathrm{\mid }\le (\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })(\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid })\le 1\cdot 1=1.$$

Επομένως $uv\in S$. ■